什么是极点 极点的定义及概念

1、极点的定义

在复平面上，若一个周围的充分小的圆盘内，不在这个圆盘内的所有点都趋近于一个值 a，则 a 是这个函数在这个圆盘内的极点。

极点还可以这样理解：它是一个复函数在某一点或某些点处的奇点，使得函数在这些点周围的小邻域中无界或无定义。

2、极点的分类

根据极点大小的不同，极点可以分为可去极点、极点和本性极点。其中，可去极点是指一个圆盘内的函数绝对值以有限数值趋近于零，即圆盘内存在极限的极点；极点是指如果一个圆盘内的函数绝对值无极限，且函数趋近于这个极点的路径在圆盘外不可缩，那么称这个点是函数的极点；本性极点是指一个圆盘内的函数的绝对值在这个圆盘内趋近于无穷，那么这个点就是本性极点。

再根据函数在极点附近的表现，极点可以分为高阶极点和非高阶极点。高阶极点是指在极点处，函数可以表示成 (z-a)^n ×h(z) 的形式，其中 n 是正整数，而 h(z) 在极点附近不为零；非高阶极点是指极点处的函数形式不能写成 (z-a)^n ×h(z) 的形式。

3、极点的判别方法

对于一个复函数，如何判定它在某一点是否存在极点？可以采用以下几种方式：

（1）利用函数在该点邻域的级数展开式，如果展开式中含有 (z-a)^n 且 $n<0$ 的项，则该点是极点。

（2）利用留数公式，如果该函数在点 a 处有极点，且可积，则散度积分等于留数，留数的值与极点的具体类型有关。

（3）利用极限的概念，计算该点周围各个方向的极限，若存在一个方向的极限趋近于某个值而与此点相似，而其他方向的极限不存在或趋向于无穷大，则该点是一个极点。

4、极点的应用

极点在数学和物理等学科的研究中有着广泛的应用。在复变函数理论中，通过极点的概念，可以推导出诸如柯西-黎曼方程、留数定理等多个重要理论，因此是复分析研究的核心问题之一。

在物理学中，极点也有着很好的应用，例如在量子力学中，根据定态薛定谔方程的奇点结构和极点位置可以计算能级跃迁的几率、能级的宽度等信息，因此对于原子物理、分子物理等领域都有很大的指导作用。