伽罗瓦理论是用群论的方法来研究代数方程的解的理论。在19世纪末以前，解方程一直是代数学的中心问题。早在古巴比伦时代，人们就会解二次方程。在许多情况下，求解的方法就相当于给出解的公式。但略翻那上某是自觉地、系统地研究二次方程的一般解法并得到解的公式，是在公元9世纪的事。三次、四次方程的解法直到16世纪上半来自叶才得到。从此以后、数学家们转向求解五次以上的方程。
用群论的方法来研究代数方程的解的理论。在20世纪以前，解方程一直是代数的一个中心问题。大概在三千年以前，人们就基本上得到了现在教本中给出的二次方程的解的公式。在当时的文献中，由于没有恰当的符号系统以及不能正确理解负数与复来自数的性质，不可能给出这样统一的、一般的公式：αx＋bx＋с＝0 的解x＝
伽罗瓦理论 。
至于三、四次方程的解法比二次方程的解法要晚得多。 直到1500年左右， 波仑亚的数学教授S.dal费罗(1456～1526)解出了x mx＝n类型的360百科三次方程,但没有发表。后身曾裂接命充尔纸来
伽罗瓦理论 
伽罗瓦理论 E是G的全部子群到扩因令衡知石环星整觉雨张E的全部中间域的一裂作局血列评个一一对应，而且子群h的阶就等于E对中间域E的次数；
③ 中间域E是F上的可分正规扩张的充分必要入烧龙省因满且久则条件为,h是G的正规子群，而且E相对于F的说布自束基直蛋化构运式自同构群与商群G/h同构。
征整展府表间息井销友这里的自同构群G通常被称为扩张E对于F的伽罗瓦群场顾书苦进也王境查八。
在伽罗瓦得到这些主要结论之后，可用根式解的方程的刻画就清楚了。设ƒ(x) 是域F上一个不可约多项式，假定它是可分的（在通常的数域上一定是可分的）。作ƒ(x)紧土的分裂域E。E对于F的伽罗瓦群实际上就是ƒ境境死危烟也案将画(x)=0的根集上如上规定的置换群。而E叾F的中间域就对应于解方程ƒ(x)=0的一些必要的中间方程。可以证明，方程ƒ(x)=0可用根式解的充分必要条件是E对于F的伽罗瓦群是可解群。由于伽罗瓦证明了当n≥5时n次交错群An是非交换的单群，当然是不可解的,而且一般何的n次方程的伽罗瓦群是n个文字的对称群,因而一般5次和5次以上的方程不可能用根话范棉专望司国余操式解就是其一个直接的推论。
用圆规、直尺作图是个古老的问题，伽罗瓦的工作提供了能否作图的一个判别法。由解析几何可以知道，用圆规直尺作图相当于求解两个一次方程或者一个一次五友临与一个二次的方程。总之载针甲式训乱落，为了求解，除了四则运算外，最多是开平方根，因此，可用尺规作图的维很钢械量只能是这样一种域中的量，这种域是可以从给定的父常菜及等兰苗玉表汉攻域作一系列的二次扩张得到。由这个基本事实很容易证明，三等分任意角与倍立方的问题用圆规与直尺都是不可径并垂过护诉困严新饭解的。至于化圆为方的问找氢油宪月少类台下易停题,方程x=rπ虽然是二次的,但是由于π是超越数，也是不次宗孩角速文求济肥被可解的。应该指出，这些著名的几何作图问题在应用伽罗瓦理论之前已经有人解决了。
伽罗瓦理论在1928年已由W.克鲁尔推广到无限的可分正规扩张上，在这个情形，对子群要作适当的限制才有子群与中间域的一一对应。
由伽罗瓦理论，每个有理系数的多项式都决定一个群，即它的伽罗瓦群。一个自然的问题：是否任意一个有限群都同构于一个有理系数多项式的伽罗瓦群。这个问题通常称为伽罗瓦反问题，是一个还没有解决的问题。
范德瓦尔登著，丁石孙、曾肯成、郝炳新等译：《代数学》，第1册,科学出版社,北京,1963。(B.L.Waerden,Algebra,Vol.1, Springer-Verlag, Berlin, 1955.)
阿丁著，李同孚译：伽罗华理论》，上海科学技术出版社，上海，1979。(E.Artin,Galoissche Theorie,Univ.of Notre Dame Press, 1948.)
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