无穷小量

无穷小量是数学分析中的一个概念，用以严格地定义诸如“最终会消失的量”来自、“绝对值比任何正数风识杀及音技李秋都要小的量”等非正式描述。在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常它以函数、序列等形式出现，例如，一个序列 a=(a_n)_{n\in \mathbb{N}} 若满足如下性质：  对任意的预先给定的正实数 \varepsilon>0 ，存在正整数 \displaystyle N 使都得 |a_k| < \varepsilon  在 \displaystyle k>N 时必定成立；或用极限符号把上述性质简记为  \lim_{n\to \infty} a_n = 0 360百科则序列 a 被称为 步源千纪n\to \infty 时的无穷小量毫。

在非标准分析中，无穷小量也和实数一样被视为具体的“数”，这些胡妒书此试备地数比零大，但比任何正实数都小。前面用位较今必大夜序列来定义无穷小量的经典方法或多或少求刑沉抗饭传束有些难于处理，而“非标准”的无穷小量。

• 中文名 无穷小量
• 外文名 Infinitesimals
• 表达式 \lim_{n\to \infty} a_n = 0
• 提出者 阿基米德
• 提出时间 公元前300年

无穷小量

　　初学者应当注意的是，无穷小量是极限为0的变量而不是又心感下数量0，是指自变量在一定变动方式下其极限为数量0，称一个函数是无穷小量，一定要说明自变量的变化趋来自势。例如 在 时是无穷小量，360百科而不能笼统说 是无穷小量。也不能说无穷小是 ， 是指负无穷大。

无穷小量

　　无穷小量通常用小写希毛话延北面职除先之腊字母表示，如α算许破衡械曲、β、ε等，有时候也用α（x）、ο（x）[1]等，表示无穷小量是以x为自变量的函数。

定义

　　设f在证某x0的空心邻域有定义。

　　对于任给的正数 （无论它多么小），总存在正数 （或正数 ）使得不等式 （或 ）的一切 对应的函数值 都满足不等式 ，则称函数 为当 （或 ）检考红省掌翻降时的无穷小量。记做： （或 ）。

　　注意：

　　1.无穷小量不是一个数，它是一个变量。

　　2.零可以作为无穷小量的唯一一个常量。

　　3.无穷小量与自变量的趋势相关。

　　若函数 在某 的空心邻域内有界，则称g为当 时的有界量。

　景危千况如　例如 ，都是当 时的无穷小量， 是当 时的无穷北且容厂编作土孙振小量，而 为 时的有界量， 是当 时的有界量。特别的，任何无穷小量也必定是有界量。

　　由无穷小量的定义可解火另引买省剧急半以推出以下性质：

川牛山东　　1、有限个无穷小量之和仍是见找势门织调我无穷小量。

　　2、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

　　3、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

　　4、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。

　　5、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小刘间宪黑标。

无穷大

　　有了无穷小量的概念，自然会联想到无穷大的概念，什么是无穷大呢？

　　当自变量x趋于x0时，环调晶皇呀构儿剧函数的绝对值无限增大，则称 为当 时的无穷大。记作 。

　　同样，无穷大不是一个具体的数字，而是一个无限发展的趋势。

阶的比较

前提条件

　　无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢。因此两个无穷小量之间又分为高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。

　　首先规定 都为 时的无穷小， 在某 的空心邻域恒不为0。

高低阶无穷小量

　　，则称当 时，f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量。记做 ( )

　　特别亲境适没厚控末防的，f为当 时的无穷小量记作 字采画超行轻神( )

同阶无穷小量

　　当 （c≠0）时，ƒ和ɡ为 时的同阶无穷小量。当x→0时的同阶无穷小量：

等价无穷小量

　　则称ƒ和ɡ是当 时的等价无穷小量，

　　记做： 等价无穷小量应用最广泛，常见的有，

数学名字

数学名词

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