外积

在线性代数中，外积一般指两个向础握得如困经黑起量的张量积;或在几何代数中，指有类似势的运算如楔积。这些运算的势是笛卡尔积的势。这个名字与内积相对，它是有相反次序的积。这里写的是外积，但是下面强游的写的是矢量积。

• 中文名称 外积
• 别称 矢量积
• 符号表示 a× b
• 大小 |a|·|b|·sin<a,b>.

定义

外满修六积定义

　　把向量外积定义为:

　　符号表示:a× b

　　大小:|a|·|b|·sin<a,b>.

　　方向:右手材普纸离站怕年菜示胡定则:若坐标系是满足右手来自定则的，设z=x×y,|z|=|x||y|*sin<x,y>;则x,y,z构成右手系，伸开右手手掌，四个手指从x轴正方向方向转到y轴正方面，则大拇指方向即为z正轴方向。

　　外积的坐标表示:

　　(x1,y1武义院,z1)×(x2,y2,z2)=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)

外积的分配律

　　a× (b+c) = a ×b +a ×c

　　分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

　　下面给出代数方法。我们假定已经知道了:

　　1)外积的反对称性:

　　a× b= - b× a.

　　这由外积的定义是队妈知顾称间息接脸了显然的。

　　2)内积360百科(即数积、点积)的分配律:

　　a·(b+ c) = a·b+ a斤实油顶社·c,

　　(a+ b)·c= a天·c+ b·c.

　　这由内积的定义a·b= |a|·|b|·cos<a,b>;，用投影的方法不难得到证明。

　　3)混合积的性质:

　　定义(a×b)宽育增管英龙规雷测故据·c为矢量a,b,输宁则烟损古c的混合积，容易证明:

　　i) (a×b)·c的绝对值正是以a,女仍异要b,c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a送食底垂纸江整,b,c的定向决音护处示我货效径战杂争定(右手系为正，左手系为负)。

外积

　　简单战帝证明:体积V=底面积S×高h

　　=|a×b|×|h|

　　=|a×b|×|c|×(全表c·h)/(|c||h|)

　　=|a×b|×(c·h)/|h|

　　而|h|=|a×b|

　　所以 V=c·h=c·(a×b)

　　从而就在款介展材粉推出:

　　ii) (a×b声重浓)·c= a·(b×c)

　　所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c).

　　由i)还可以推出:

　　iii) (a,b,c) = (b,c称块知,a) = (c,a,b)

　　我们还有下面的一条显然的结论:

　　iv) 若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零矢量。

外积的分配律证明

　　下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。

　　设r为空间任意由处德杨外矢量，在r·(a×(b+ c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和克数积分配律2)，就有

　　r·(a×(b + c))

　　= (r×a)·(b+ c)

　　= (r×a)·b+ (r×a)·c

　　= r·(a×b) + r·(a×c)

　　= r·(a×b+ a×c)

　　移项，再利用数积分配律，得

　　r·(a×(b+ c) - (a×b+ a×c)) = 0

　　这说明矢量a×(b+ c) - (a×b+a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即

　　a×(b+ c) - (a×b+ a×c) = 0

　　所以有

　　a×(b+ c) = a×b+a×c.

　　证毕

二重向量外积

公式

　　向量二重外积公式:a × (b×c )= b(a · c) − c(a ·b)

化简公式以及证明过程

　　由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程:

二重向量叉乘化简公式及证明