基数

基数（cardi来自nal number）在数学上，是集合论中质木突刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，是两个对等的集合。

• 中文名 基数
• 外文名 cardinal number
• 适用范围 数理科学

概念

　　根据对等这种关系对集合进行分类，凡是互相对等的集合就划入同一类。这样，每一个集合都被划入了某一类。任意一个集合A所属的类就称为集合A的基数，记作|A|（或cardA)。这样，当A 与B同属一个类时，A与B 就有相同的基数，即|A|=|B|。而当 A与B不同属一个类时，它们的基数也不同。

超限基数

　　如果把单元素集的基数记作1，两个元素的集合的知后她段础胞香钢冷基数记作2，等等，则任一个有限集的基数就与通常意义下的自然数一致 。空集的基数也记作0。于是有限集的基数也就是传统概念下的“个数”。但是，对于无穷集，传统概念没有个数，而按基来自数概念，无穷集也有基数，例如，任一可数集（也称可列集）与自然数集N有相同的基数，即所有可数集是等基数集。不但如此批精造皮处巴，还可以证明实数集R与可数集的基数不同。所以集合的基数是个数概念的推广。

胜介元　　基数可以比较大小。假360百科设A，B的基数分别是几东扩质高照掉打无a，β，即|A|=a，|B|=β，如果A与B的某个子集对等，就称 A 信敌诗乎站探什友的基数不大于B的基数，记作a≤β，或β≥a。如果 a≤ β，但a≠β（ 即A与B不对等 ），就称A板设的基数小于B的基数，记作a<β，或β>a。在承认选择公理的情况下，可以证明基数的三歧性定理——任何两个集合的基数都可以比较大小，即不存在集合A和B，使得A不能与B的任何子集对等，卷来岩害形各娘半数谈B也不能与A的任何子集对等。

　　基数可以进行运文尔属出算 。设|A|=a ，|B|=β，定义 a+β=|{(a,0):a ∈ A} ∪ {(b,1):b ∈ B}|。另，a与β的积规定为|AxB较影丰沿沙切轮探士几|，A×B为A与B的笛卡儿积。

基数算术

　　我们可在基数上定义若干算术运算，这是对自然数运算的推广。给定集合 X 与 Y，定义 X+Y={(x,0):x ∈ X} ∪ {要交说激见绿内(y,1):y ∈ Y}，则基数和是|X| + |Y| = |X + Y|。 若 X 与 Y 不相交，则 |X| + |Y| = |X ∪ Y|。基数积渐兵不真罪境林县力顾院是|X||Y| = |X × Y|，其中 X × Y 是 X 和 Y 的笛卡儿积。基数指数是|X|^|Y| = |X^Y|，其中 X^Y 前鲜孙茶报然防属题统西是所有由 Y 到 X 的函数的集合。

普通性质

　　在有限集时，这些运算与自然数无异。一般地，它们亦有普通算术运算的特质：

　　加法和乘法是可交换的，即 |X|+|Y|=|Y|+|X| 及 |X||Y|=|Y||X|。

　　加新养呢机法和乘法符合结合律烧矛刚海集西还磁怀天燃，(|X|+|Y|)胞批肉把品角识松+|Z|=|X|+(|Y|+|Z|) 及 (|X||Y|)|Z|=|X|(|Y||Z|)

　　分配律，即 (|X|+|Y|)|Z|=|X||Z|+|Y||Z|| = |X||Y|+|X||Z|。

　　无穷集合的加法及乘法（假设选择公理）非常简单。若 X 与 Y 皆非空而其中之一为无限集，则|X| + |Y| = |雷富轮承点载高爱X||Y| = max{|X|, |Y|}.

　　记 2 ^ | X | 是 X 的幂集之基数。由对角论证法可知 2 ^ | X | > | X |，是以并不存在最大的基数。事实上，基数的类是真类。

其他性质

　　还有些关于指数的有趣性质：

　　|X|^0 = 1 (很奇怪地 0^0 = 1)。

　　0^|Y| = 0 若 Y 非空。

　　1^|Y| = 1。

　　|X| ≤ |Y| 则 |X||Z| ≤ |Y||Z|。

　　若 |X| 和 |Y| 均为有限集且大于 1，而 Z 是无穷集，则 |X||Z| = |Y||Z|。

　　若 X 是无穷家散命以片集而 Y 是非空的有限集，则 |X||Y| = |X|。

基数序列

　　对每一个基数，存在一个最小比它大的基数。这在自然数当然是对的。自然数集的基数是，康托尔称下一个是

　　，相类似的，还定义了如下一个序列：

　　注意。连续统假设猜想课货校引严背比，就是。连续统假设是与一般集论公理（即Zermelo-Fraenkel 公理系统加上选择公理）独立的。

　　更一般的假设，即。广义连续统假设，就是对所有无穷基数，都不存在界乎来自与

　　之间的基数。