数列极限

设 {Xn} 为实数数列，a 为定数.若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛来自于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限。

• 中文名 数列极限
• 外文名 The limit of a sequence
• 领域 数学
• 性质 极限

定义

　　设 {Xn} 为实数列，a 为定数.若对任给的正数 ε，总存好白准班培西扬法措歌在正整数N，使得当 n>N 时有来自∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限，并记作，或Xn→a(n→360百科∞)

数列极限表达式

　　读作"当 n 趋于无穷大时，{Xn} 的极限等于 或 趋于 a".

推坏罗密快　　若数列 {Xn} 没有极限，则称 {Xn} 不收敛，或称 {Xn} 为发散数列.

　　该定义常称为数列极限的 ε-N定义.

　　对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性。

　　定理1:如果数列{Xn}收敛，则其极限是唯一的。

　　定理2:如果数列{Xn}收敛，则其一定是有界的。即对于一切n(n=1,2……)，总可以找到一个正数M，使|Xn|≤M。

ε的双重性

任意性

　　不等式|Xn-a|<ε刻划了Xn与a的无限接近程度，ε愈小，表示接近得愈好;而正数ε可以任意地小，说明X觉杂素n与a可以接近到任何程度。然而，尽管ε有其任意性，但一经给出正整数N，ε就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出ε，又ε既是任意小的正数，那么ε/2,ε的平方等等同样也是任意小的正数，因此全定义中不等式|Xn-a|<ε中的 ε可用ε/2,ε的平方等来代替。同时，正由于ε是任意小正数，我们可限定ε小于一个确定的正数.另外，定义1中的|Xn-a|<ε也可改写成|Xn-a|≦ε

相应性

　　一般车说，N随ε的变小而变大，由此常把N写作N(ε)，来强调N是依赖于ε的;但这并不意味着N是由ε所唯一确定的，因为对给定的 ，比如当N=100时，能使得当n>N时有|xn-a|<ε，则N=101或更大时此不等式自然念也成立.这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小华.另外，定义1中的，n>N也可改写成n≧N.

几何意义

　　当n>N时，所有的点xn都落在(a-ε，a+ε)内，只有有限个(至多只有N个)在其外。

　　如右图