上跳函数是什么 什么是上升函数？

1、上跳函数的定义

上跳函数也称 ST 表，是一种用于解决倍增算法中的 RMQ 问题的数据结构。RMQ，即求解一段区间中的最值，是很多算法问题的基础。

上跳函数有两个主要操作：预处理和查询。在预处理操作中，需要先对原始序列进行 ST 表构建，这个过程的时间复杂度为 O(nlogn)。在查询操作中，根据要查询的区间 L 和 R，可以进行 logn 次上跳得到结果。

2、上跳函数的构造

上跳函数的构造基于动态规划思想，它的状态转移方程式如下：

st[i][j] = min(st[i][j-1], st[i+2^(j-1)][j-1])

其中，st[i][j] 表示区间 [i, i+2^j-1] 中的最小值。这个转移过程是一个自底向上的过程，先计算所有长度为 1 的区间（即单个元素）的最小值，然后在此基础上不断合并区间至计算出最终的 st[i][j]。这个合并区间的过程正是上跳的过程。

3、上跳函数的应用

上跳函数最常见的应用场景是解决 RMQ 问题。如果需要快速查询区间 [L, R] 这段区间的最小值，只需要计算 logn 次上跳，便可以得到结果。

另外，上跳函数还可以用于解决区间全排名问题。这个问题要求得到一个序列中某个元素的排名，即其在整个序列中是第几大元素。通过在上跳时记录每个区间内最小值的下标，可以得到一个升序的序列。同时，在查询时需要记录序列中已经遍历的元素个数，即可计算出该元素的排名。

4、上跳函数与其他算法的关系

在解决 RMQ 问题时，倍增算法和线段树算法都可以达到和上跳函数相同的时间复杂度，即 O(nlogn)。但是，在实际问题中，问题的数据量和查询次数决定了选择不同算法的效率。如果多次查询同一个区间的最小值，ST 表的计算量只需要 O(nlogn)，但是倍增和线段树需要每次都进行计算，时间复杂度相对较高。