什么是循环卷积定理 循环卷积的定义及应用

什么是循环卷积定理

循环卷积，是一种信号处理中的一种操作，它主要是指将两个循环序列做卷积运算后得到的新的循环序列。在数字信号处理中，循环卷积定理是一个非常重要的定理，它描述了循环卷积与离散傅里叶变换之间的关系。

循环卷积的定义与公式

从数学上可以定义循环卷积：若两个长度相等的循环序列${x(n)}$和${y(n)}$其长度为$N$，则它们的循环卷积定理定义为：

$$

{x(n)\circledast y(n)={1 \over N}\sum_{m=0}^{N-1}x(m)y((n-m)_N)}

$$

如果对上式的含义不是非常明确，请不要着急，接下来会进一步的详细说明。

卷积和傅里叶变换的关系

循环卷积定理实际上是卷积和傅里叶变换之间的一个重要关系。在信号处理中，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它可以将一个时域信号转换为频域信号，以便我们对信号进行分析和处理。

循环卷积定理所描述的就是循环卷积和傅里叶变换之间的关系，也就是说，循环卷积操作等价于傅里叶变换再进行逆变换的结果。

循环卷积的应用范围

循环卷积操作在数字信号处理领域中应用非常广泛，常用于数字滤波、乘源编码、CDMA通信系统等领域。此外，在图像处理中，循环卷积也可以用于处理周期图像中的卷积操作。

总的来说，循环卷积作为一种非常实用的数学工具，在信号处理和图像处理中都有着广泛的应用。