伴随矩阵行列为什么要倒置 伴随矩阵行列为何需倒置

1、伴随矩阵的定义和意义

伴随矩阵是指原矩阵的代数余子式所构成的矩阵，是线性代数中的一种重要的矩阵。

伴随矩阵在求解线性方程组、矩阵的逆、行列式的计算等方面起着重要的作用，被广泛应用于各个领域。

2、伴随矩阵与行列式的关系

伴随矩阵与行列式的关系是通过对行列式的变形而得到的。

对于一个n阶矩阵A，它的伴随矩阵表示为adj(A)，则有公式：A * adj(A) = adj(A) * A = det(A) * I。

其中，I为单位矩阵，det(A)为A的行列式，*表示矩阵乘法。

3、矩阵乘法规则及矩阵转置

根据矩阵乘法的规则，矩阵A左乘伴随矩阵adj(A)时，得到的结果为一个n阶矩阵B。

而根据矩阵乘法的交换律和结合律，我们可以得到：B = det(A) * I。

又因为A * adj(A) = det(A) * I，所以B = A * adj(A)。

因此，我们可以得到：B = adj(A) * A = det(A) * I。

同时，我们知道，矩阵转置的规则为，交换矩阵A的行和列，得到的新矩阵记为A'。

4、倒置的原因

根据矩阵乘法的规则以及矩阵转置的规则，我们可以得到：A * adj(A)' = adj(A)' * A = det(A) * I。

因此，为了使这个式子成立，在求伴随矩阵时，行列需要倒置。

换句话说，我们把矩阵A的第i行第j列的余子式作为伴随矩阵的第j行第i列。

这样，通过伴随矩阵的求解，我们就可以得到A的行列式以及逆矩阵等重要的信息。