1、定义和概念
极数是极限数的另一种称呼，它是数列中的一种特殊点，通常表示数列中最大的值和最小的值。在解决一些极限问题或者在函数图像的分析中，常常需要讨论极数的性质。
对于数列 $\{a_n\}$ 而言，如果它的前 $n$ 项的最大值和最小值随着 $n$ 的增加而趋于一个确定的数 $A$，那么 $A$ 被称为数列 $\{a_n\}$ 的极限。同时，数列的最大值和最小值分别被称为数列的上极限和下极限，这两个数统称为数列的极数。
2、极数的计算方法
在研究函数图像的极值问题时，常常需要求出函数在某些范围内的极值点，这就需要我们先求出函数的极数。
对于一个数列 $\{a_n\}$，我们可以采用以下方法来求出它的极数：
- 对于有限数列，直接将其所有数排列，找出最大值和最小值即可
- 对于无限数列，在已知前 $n$ 项中的最大值和最小值的情况下，可以通过推导出前 $n+1$ 项的最大值和最小值的公式来求解
- 当数列的极限存在时，其上下极限就是该数列的极限
3、极数在函数图像中的应用
在函数图像的研究中，极数的应用十分普遍。由于函数的极值点通常可以用极数来刻画，因此求出函数的极数就是求函数极值的关键步骤。
以函数 $f(x)=x^2-2x+1$ 为例，我们可以通过求出函数在定义域内的增减性以及极数来确定其极值点：
- 求导得到 $f'(x)=2x-2$，解得 $x=1$
- 当 $x<1$ 时，$f'(x)<0$，因此 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递减
- 当 $x>1$ 时，$f'(x)>0$，因此 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增
- 当 $x=1$ 时，$f(x)$ 取得极值 $0$，因此 $x=1$ 是函数的极值点
4、极数的性质
极数具有以下一些重要的性质：
- 任意一个数列都有上下极限，但不一定存在极限
- 极限和上下极限不一定相等，但必须满足 $a_n\leqslant A\leqslant b_n$ 的条件
- 如果一个函数在某个区间内有极值点，那么这些极值点一定是函数的极数中的某个值
- 对于无限数列 $\{a_n\}$，如果它的极数存在并且有限，则它一定收敛，并且其极限就是上下极限
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