什么叫端点 端点的定义及解释

什么叫端点

端点是数学中的一个概念，用于指示函数图像的开始或结束点。一般来说，一个函数图像的端点有以下几种类型：

1、无穷远点

无穷远点是指当$x$逐渐增大或减小时，函数值逐渐接近无穷大或负无穷大的点。通常用符号$\pm\infty$表示。例如，$f(x)=\dfrac{1}{x}$在$x=0$处的极限值为正无穷或负无穷，因此$x=0$是$f(x)$的一个无穷远点。

需要注意的是，在一些函数图像中，可能存在多个无穷远点。例如，$f(x)=\sin x+\cos\dfrac{1}{x}$在$x=0$处同时存在正无穷和负无穷两个无穷远点。

2、有限端点

有限端点是指函数图像的开始或结束点为有限值的点。在这种情况下，一般需要分别计算左极限和右极限，来确定该点是否是端点。

例如，$f(x)=\sqrt{x}$在$x=0$处有一个有限端点。当$x$逐渐接近$0$时，函数值逐渐变小，但不会接近无穷。因此，$x=0$是$f(x)$的一个左极限存在、右极限不存在的有限端点。

3、奇点

奇点是指函数图像在某个点处出现了突变或断裂的点。在这种情况下，一般需要分别计算左右极限，来判断该点是否是奇点。

例如，$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$在$x=0$处有一个奇点。当$x$逐渐接近$0$时，函数值会不断地在$1$和$-1$之间震荡，因此$x=0$是$f(x)$的一个左极限和右极限都存在但不相等的奇点。

4、水平渐近线

水平渐近线是指函数图像在某个点处接近某个水平直线但不会穿过该直线的点。在这种情况下，一般需要计算函数在无穷远点的极限，来判断是否有水平渐近线。

例如，$f(x)=\dfrac{\cos x}{x}$在无穷远点处的极限为$0$，因此函数图像在$y=0$处有一条水平渐近线。