什么是向量 向量的定义及应用

1、向量的定义

向量是数学中的一个重要概念，它是一个有大小和方向的量。具体来说，我们可以将向量看作是一个指向某个点的箭头，它由起点和终点组成。向量通常用箭头上的字母表示，如“A”。

向量有多种表示方式，其中最常用的是坐标表示法。在二维坐标系中，向量可以表示为一个有序数对(x,y)，其中x和y分别为向量在x轴和y轴上的投影长度；在三维坐标系中，向量可以表示为一个有序数三元组(x,y,z)，其中x、y和z分别为向量在x轴、y轴和z轴上的投影长度。

2、向量的加减法

向量可以进行加法和减法运算。具体说来，我们可以先将向量平移，使它们的起点位于同一位置，然后将它们的终点连接起来，这条连接线就是它们的和向量。和向量的大小等于这两个向量的大小之和，方向等于这两个向量的方向之和。

向量的减法可以转化为加法。我们可以将需要减去的向量取负，然后将它加到另一个向量上即可。

3、向量的数量积

向量还可以进行数量积运算，也称为点积或内积。具体说来，给定两个向量a和b，其数量积定义为它们对应坐标的乘积之和，即a·b=a1b1+a2b2+...+anbn，其中ai和bi分别为向量a和b的第i个坐标。

数量积具有以下性质：

• 数量积满足交换律：a·b=b·a。
• 数量积不满足结合律：(a·b)·c≠a·(b·c)。
• 如果两个向量的数量积为0，就称它们为垂直向量。

4、向量的向量积

向量还可以进行向量积运算，也称为叉积或外积。向量积得到的结果是一个新向量，其大小等于两个向量组成的平行四边形的面积，方向垂直于这两个向量所在的平面。具体说来，向量a和b的向量积定义为(c1,c2,c3)，其中c1、c2和c3分别为以下行列式的值：

| i j k |

| a1 a2 a3 |

| b1 b2 b3 |

向量积还具有以下性质：

• 向量积满足反交换律：a×b=-(b×a)。
• 向量积不满足交换律：a×b≠b×a。
• 向量积满足叉积分配率：a×(b+c)=a×b+a×c。