fft为什么可以计算出频域 为何FFT能计算出频谱？

1、离散傅立叶变换

为了理解FFT为什么能计算出频域，首先需要了解离散傅立叶变换（DFT）。DFT是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，将一个N个样本的离散信号转换为另一个N个样本的离散信号，其中频率域的每一点有其特定的幅度和相位。

对于一个包含N个样本的时域信号，DFT的数学公式如下：

这个公式中，x表示离散时域信号，X表示离散频域信号，n为循环的下标，k代表频率，N是样本数。

这是一个暴力算法，复杂度为O(N²)，计算量很大，无法应用于实际信号处理。因此，才有了快速傅立叶变换这种计算方法。

2、快速傅立叶变换

FFT是快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform）的缩写，该算法利用了DFT的对称性和周期性，优化了傅立叶变换的计算速度。具体来说，FFT算法的时间复杂度可以降低到O(NlogN)。这是由于FFT算法是一种分治算法，它把原本需要计算N²个实数加减乘除运算的算法转化成了一棵二叉树的形式，减少了运算次数。

FFT算法可以分为两种：基2快速傅里叶变换（Radix-2 FFT），和基n快速傅里叶变换（Radix-n FFT）。其中基2的FFT变换是最常用和最简单的。

3、FFT的计算原理

通过上面的介绍，我们可以发现FFT算法实际上只是一个依次分治的过程，将一个包含N个样本的序列分成多个包含N/2个样本的序列，然后在递归处理这些子序列。最终，这些序列的结果装配在一起，构成了原始序列的FFT结果。

具体步骤如下：

• 1、将N个离散样本按照奇数和偶数分别分为两组，将原始序列分成两个长度为N/2的子序列。
• 2、对这两个子序列分别进行FFT变换，得到两个长度为N/2的频域序列。
• 3、将这两个频域序列合并为一个长度为N的频域序列。

这个过程会递归进行，直到只剩下一个样本，然后逆向计算出原始序列的频域结果。

4、FFT的应用

FFT广泛应用于信号处理，特别是在音频和视频等数字信号处理中。例如，音频文件可以使用FFT来分析其频谱成分，并将这些成分用于音频效果处理，如均衡器、回声去除等。FFT还可用于带通和带阻滤波器的设计，以及在数字通信中进行频率分集和抗干扰等功能。

除了在信号处理领域，FFT在其他领域也有着广泛的应用，如分子动力学、图像处理等。