什么时候用万能代换 什么情况下需要使用万能代换？

什么时候用万能代换

在学习高等数学、物理等理工科课程的过程中，我们经常会遇到不同程度的微积分问题，使用万能代换技巧可以大大减少我们的计算量，提高我们的计算效率。

1、代换变量是函数中的一部分

当积分式子中某一项是函数的导数，而另一项是该函数的其他部分时，可以使用万能代换技巧。具体步骤是，假设该项是f'(x)，那么我们可以设t=f(x)，于是f'(x)dx=d(t)，从而将原积分式子化为一般的形式，可以容易地进行计算。

以以下式子为例：

∫(x^2+1)cosx dx

我们可以看到，在该式子中，cosx是x^2+1的导数，因此我们可以令t=x^2+1，使用万能代换进行变换，得到:

∫cosx d(t)= sinx+C

2、代换变量是三角函数

当积分式子中存在三角函数时，可以使用万能代换的技巧。具体步骤是，假设积分式中的三角函数的参数是某一变量，我们可以令该变量为t，然后使用代换将式子化为一般形式继续计算。

以以下式子为例：

∫sin^4x cos^3x dx

我们可以看到在该式子中，sin和cos都是三角函数。我们可以令t=sin(x)，从而使用万能代换将式子化为：

∫t^4(1-t^2)^3 d(t) = ∫(t^4 - 3t^6 + 3t^8 - t^10) d(t)

我们可以使用常规的积分技巧继续计算。

3、代换变量是根式

当积分式子中存在根式时，也可以使用万能代换的方法。具体来说，当根式中存在多项式时，可以用多项式除去根式得到代换变量；当根式中只存在指数或三角函数等部分时，可以用指数或三角函数等代换变量。

以以下式子为例：

∫dx/[(a^2-x^2)^(3/2)]

在该式子中，我们可以发现，根式中存在a^2-x^2这一项多项式。我们可以令x = a sin(t)，则有：

dx = a cos(t) dt

代入式子之后，可以将原积分式子化为：

∫d(t)/[cos^3t]=∫sec^3(t)dt=tan(t)-1/2tan^3(t)+C

将x=a sin(t)代回，即可得到原式的积分结果。

4、代换变量是分式

在积分式子中存在分式时，我们可以使用万能代换的方法变换分式的形式，从而使得我们可以进行积分。具体步骤根据不同的分式形式有所不同。如下面例子：

∫ dx/(2x+3)^2

我们可以将分式拆分为（2x+3）/(2x+3)^2dx，使用t=2x+3进行替换，得到：

∫(1/t^2) d(t)= -1/(2x+3)+C

可以看到，常规方法可能难以求出该式的积分，而使用万能代换技巧进行化简之后，可以使得我们的计算更加直观方便。