为什么L等于gT的平方 L与gT的关系是什么？

1、牛顿第二定律的推导

在牛顿第二定律的基础上，可以得出以下公式：

F = ma （力等于物体的质量乘以加速度）

对这个公式进行变形：

F/m = a （将公式两边同时除以物体的质量）

根据牛顿第一定律，当物体受到合力时，将会产生加速度。因此，F/m即为物体受到的合力对应的加速度。根据初中物理学知识，自由落体的加速度为g，因此可得：

F/m = g

将F/m带入原公式中，得到：

ma = mg （力等于物体的质量乘以加速度）

将左侧使用牛顿第一定律中的物体位移公式进行化简，得到：

F = mgL/T

其中，L为绳长，T为摆动周期。

2、质点对称性的应用

假设在偏离平衡位置x处，一个质点被添加到了这个简谐振动的弹簧上。由于质点的重力对系统造成的影响可以忽略不计，因此此时系统可以看做一个保持对称的点阵。

假设在坐标轴上，点-1的位置为-x，点0的位置为0，点1的位置为x，那么点-1和点1始终处于对称的位置。因此，它们会发生相同的运动，使振幅达到最大。由此可以得到：

L = 2x

将L代入原公式中，得到：

T^2 = (4π^2/g)x

可以看到，T^2和x成正比。这为后续推导奠定了基础。

3、匀速圆周运动的应用

在一个摆锤在长度为L的绳子上做匀速圆周运动时，根据牛顿第二定律和向心力的定义可以得到：

F = ma （牛顿第二定律）

F = mv^2/r （向心力的定义）

其中，v为摆锤的线速度，r为圆周的半径，由于绳子长度为L，因此有L = r。

将上述两个公式结合起来，可以得到：

ma = mv^2/L

将左侧使用牛顿第一定律中的物体位移公式进行化简，得到：

F = mgL/T = mv^2/L

整理得到：

v = sqrt(gL)

将v代入原公式中，得到：

T^2 = L/g

4、能量守恒定律的应用

由于力和位移的积分可以得到系统的动能，因此可以使用动能和重力势能的差值，即能量守恒定律，来得到物体的振动周期。这个过程中，系统的重力势能和弹性势能不断地转化为动能和重力势能。因此总能量保持不变。

假设摆锤在x处，与平衡位置的距离为x，其重力势能为mgh(x)，弹性势能为0.5kx^2。

因为重力势能和弹性势能互为补充，所以动能等于两种势能的和，即：

0.5mv^2 = mgh(x) + 0.5kx^2

由于x指的是点到平衡位置的距离，因此有：

x = Lcosθ

其中，θ为摆锤与竖直线的夹角。

将上述式子代入到能量守恒定律的公式中，可以得到：

T = 2πsqrt(L/g)

因此，可以简要的将“为什么L等于gT的平方”总结为一句话：设定摆动周期为T，摆子长度为L，摆动过程中的加速度为g，那么振动周期和摆动长度的乘积等于重力加速度的平方。