什么函数有共轭复极点 函数存在哪些共轭复极点

1、复数域上的有理函数

在复数域上的有理函数可以被表示为多项式的比值，即$f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$，其中$P(z)$和$Q(z)$为复系数多项式。

如果$Q(z)$的某个复根$z_0$是一对共轭复数，即$z_0$和$\bar{z}_0$均为$Q(z)$的根，则$f(z)$在$z_0$和$\bar{z}_0$处存在共轭复极点。

例如：$f(z)=\frac{z^2+2z+2}{z^2+4z+5}$，其中$z^2+4z+5=(z+2+ i)(z+2-i)$，故$f(z)$在$-2+ i$和$-2-i$处存在共轭复极点。

2、三角函数

对于一些常见的三角函数，如正弦、余弦和正切函数，它们在一些点处具有共轭复极点。

例如：$f(z)=\tan z$在$z=\frac{\pi}{2}+n\pi$，其中$n$为整数，处存在共轭复极点。

注意：在这些点处，虽然$f(z)$并不定义，但$\lim\limits_{z\rightarrow z_0}f(z)=\infty$，因此这些点也被称为极点。

3、Gamma函数

Gamma函数是一种扩展的阶乘函数，可以表示为$\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt$，其中$z$为复数。

Gamma函数在复平面上具有无穷多个极点，其中一些为共轭复极点。

例如：$\Gamma(z)$在$z=-n$处存在共轭复极点，其中$n$为正整数。

4、幂函数

幂函数$f(z)=z^w$（$w$为复数）在$z=0$处存在复极点。当$w$为实数且$w<0$时，$z=0$是$f(z)$的本质奇点（即极点和 essential singularity的结合）；当$w$为实数且$w\ge0$时，$z=0$是$f(z)$的可去奇点。

在$Re(w)>0$时，$f(z)$在$z=\infty$处有一单极点。