样本熵是什么 样本熵的定义及作用

1、什么是样本熵

在信息熵理论中，样本熵是一种用于度量数据集合中信息量的指标。也就是说，样本熵越小，数据集中的信息量越少，越容易被简单的模型所拟合。

样本熵的计算基于数据集中各个类别的频率分布情况，可以采用熵的计算方式：

$$ H(X)=-\sum_{i=1}^{n}p(x_i)log_2p(x_i) $$

其中，$p(x_i)$为数据集中类别为$i$的样本数量与总样本数之比，$log_2$表示以2为底的对数。

2、样本熵的作用

样本熵主要用于机器学习算法中的损失函数，如决策树和随机森林等。在这些算法中，目标是找到一种最优的划分方式，使得数据集中的每个类别都能被尽可能准确地分类。

通过计算每个划分方式的样本熵，可以选择使样本熵最小的划分方式作为当前的最优解。

3、如何计算样本熵

样本熵的计算需要先确定数据集中各个类别的数量，然后通过计算每种类别的频率来计算样本熵。

以二分类为例，若数据集中有$N$个样本，其中正例的数量为$N_1$，负例的数量为$N_2=N-N_1$，则正例和负例的频率分别为$p_1=\frac{N_1}{N}$和$p_2=\frac{N_2}{N}$。样本熵的计算公式可以写为：

$$ H=-p_1log_2p_1-p_2log_2p_2 $$

其中，当$p_1$等于0或1时，样本熵的值为0；而当$p_1$等于0.5时，样本熵的值最大（为1）。

4、样本熵与信息增益

信息增益是指某种属性对于分类决策的影响程度。在决策树算法中，信息增益越大的属性越有可能被用来作为划分属性。

样本熵与信息增益直接相关。信息增益的计算公式为：

$$ IG(D,a)=H(D)-\sum_{v=1}^{V}\frac{|D^v|}{|D|}H(D^v) $$

其中$H(D)$为数据集$D$的总熵，$D^v$为按属性$a$划分后的子集，$V$为属性$a$的可能取值数。

信息增益实质上就是样本熵和划分后的子集样本熵之差。因此，通过比较不同属性的信息增益大小，可以选择信息增益最大的属性作为划分属性。