什么是零极点 零点和极点的定义和区别

1、什么是零极点

在复变函数中，零点和极点是非常重要的概念。其中，零点指的是函数在某个点上取值为0的值，而极点则指的是函数在某个点上的值趋于无穷大或无穷小的现象。如果以函数的图像来表示，零点通常是该函数图像与横轴交点的位置，而极点则是该函数图像在该点处特别陡峭或者高耸的位置。

在复平面上，零点和极点通常被表示为点的形式，称之为“零点”和“极点”。如果一个函数有零点或极点，那么该函数就可以在这些点上表现出特殊的行为。

2、零点

一个函数在某个点上取值为0的现象被称之为“零点”。在复平面上，如果一个函数在某个点上取值为0，那么这个点就被称为“零点”。在函数图像上，零点通常体现为函数图像与横轴相交的位置。可以证明，在复平面上，任何一个复数都可以由有限个零点相乘和除以有限个极点相乘的形式表示出来。

以下是常见的具有零点的函数：

一次函数$f(z)=az+b(a\neq0)$只有一个零点，此时的零点就是$-\frac{b}{a}$。二次函数$f(z)=az^2+bz+c(a\neq0)$通常有两个零点，它们可以由求根公式$z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得到。

3、极点

极点是介于零点与奇点之间的一类点，是复变函数分析中的一个重要概念。在某个点处，如果函数取值趋近于无穷大或无穷小，那么该点就被称之为“极点”。

以下是常见的具有极点的函数：

有理函数$f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$，其中$P(z)$和$Q(z)$都是关于$z$的多项式。如果$Q(z)$在某个点$z_0$上为0，而$P(z_0)\neq0$，那么该点就是$f(z)$的一个单极点。如果$Q(z)$在某个点$z_0$上为0，而$P(z_0)=0$，那么该点就是一个极点的高阶点。

4、零极点与函数的特性

在复平面上，有了零点和极点的概念，我们可以更好地了解函数的性质。例如，如果一个函数在某个点上的导数值为0，那么该点就是一个零点。相反地，如果一个函数在某个点上的导数值趋近于无穷大或无穷小，那么该点就是一个极点。

又比如说，如果一个有理函数的分子的次数等于分母的次数，那么这个函数在复平面上一定存在一条渐近线（就是曲线会趋向某个方向）。这条渐近线通常与函数的极点和零点有关，它们互相影响。

总而言之，零极点是复变函数理论中非常重要的概念，它们决定了函数的许多性质，如分界点、渐近线、收敛半径等等。在复变函数的研究中，深度理解零极点的概念和性质至关重要。