为什么用复数来表示正弦量 复数和正弦量的关系

为什么用复数来表示正弦量

在数学中，正弦函数是一个在实数上连续但是不可微的周期函数。而在电工电子和物理学中，我们用复数来表示正弦量，这是为什么呢？

复数的引入

复数最早的引入是为了解方程 $x^2 + 1 = 0$。从而得到 $i$ 这个虚数单位。

后来人们发现，$i$ 这个数可以用于解决一些实际问题，比如电学中的交流电。

交流电与复数正弦量

在电学中，交流电的振幅有一个特殊的性质，那就是其随时间呈正弦形变化。由于电学中有电流的瓦兹定理，故而我们需要用正弦量来描述交流电的强度。

假设我们有如下交流电流公式：

$i(t) = I_0sin(\omega t)$

现在我们引入复数概念，假设存在一个复数 $Z$，其实部是 $V$，虚部是 $W$，那么我们可以有如下公式：

$Z = V + jW$

其中，$j$ 是我们之前提到的虚数单位，现在我们将之代入交流电流公式中：

$i(t) = Im(I_0e^{j\omega t})$

其中，$Im()$ 表示复数的虚部。可以看到，如果用复数的指数形式来表示，就很方便，不但可以简化公式，还可以方便地套用欧姆定律和瓦兹定理等定律。

欧拉公式

交流电的复数形式可以用欧拉公式表示：

$e^{j\theta} = cos\theta + jsin\theta$

这个公式是将复指数函数与三角函数相联系的基础。

总结

综上所述，复数的引入使得交流电可以用复数正弦量来表示，这不但方便了计算，而且也保持了数学上的一致性。相信随着更多领域的发展，复数的运用也会不断拓展。