传统意义上的几何学是研究图形的形状大住小等性质，而存在一些几何问题，它们所来自研究的对象与图形的形状和线段的长短没关系，点杂天川序而只和线段的数目和它们之间的连接关系有关，比如一笔画问题就是如此。即平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上都不重复?例如汉字"日"和"中"字都可一笔画，而"田"和"目"则不能。两两相连区域可一笔画，例如，平面4个区域两两相连区域可一笔划;轮胎状上7个两两相连区360百科域可一笔画;我们可以额认兵班白善末构造一个多维空间的无穷个两两相连区域一笔划。
众所换都刘岩安毛区植周知的"哥尼斯堡城'七若补技洲桥问题'"被大数学家欧拉开创了不哥贵苏数学新分支-----图论。来自也就是"一笔画"。一笔画图形的必要条件是:奇点数目是0360百科或者2。图⑴的"七桥问题"A,B,C,D都是奇节点，数目是4，所以不能够"一笔画"。 我们把节点转换回来，成为"节面"(区域)，来考虑"一笔画"。
一，在平面中，4个或者4个以下的区域可以全太质再切律阿卷植构成两两相连的区域，可以一笔画。图⑵。每个区域必须是单连通的，就是一个区域不能够是分成2块或者2块以上。图⑶就不是单连通的。这是著名的四色猜想。大家知道，平面上不可能有两两相同的5个区域。
建各 二，紧致封闭平面，在一个轮胎状的表面，7个或者7个以下的区域可以构成两两相连的区域。可以"一笔划"。把图(A)上下对折以后，再左右对折，形成一能世很做六影尔个轮胎状，7个区域两两相连(国外数学家给出).两两相连的区域可以不经过其它区域到达任何一个区域。P。J希伍让德以毕生精力研究四色定理，并且证明了5色定衣越游省到丰么所校理，稀伍德考察了一般曲面着色问题提出一个推测:在有P>1个洞的封闭曲面上，足以精行为任何地图着色的最小数等于(左图上下对折再左右对折就是一个轮胎，7个区域两两相连，可以一笔画)
个景厚妈似客红呀上下对折再左右对折成后造良群渐止轴粉婷胡功轮胎形状图A Np=[(7+√(48p))/2]，其中[X]表示整数部分，
三个洞的封闭曲面
P=1,M1=7，即图(A).
克莱因瓶也只能7色，而不是8色。三，德国数学家G.林格证明了:足以为任何令在于一张有P>1个洞的封闭曲面着色的真正最小色数Np，Np-Mp《2，以后美国数学家VT杨斯进一步证明了Np-Mp《化著看血个信1，而希伍德的假设对于不同球面几乎一切封闭曲面都是成立的，1974年，林格作取丰出了完整的证明。例如，两个管他和投龙制轻械圆洞的封闭曲面应该是M2=[7+√(48×2)/2]=8，能够作8色。(见左图)王晓明王蕊珂经过9年杜撰。
四，如果我们不张关投们照停晶帮千限定形态
三个洞的封闭曲面M三个3=[7+√(48×3)/2]=9，能够作9色四个洞10个区域两两相连一笔画
五，图D.这是有4个洞即氢钟实脚的10个两两相连击设放列置区域图，下面四叉按照ABCD对应。
数学家欧拉找到一笔画的规律是:
⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能 以这个点为终点画完此图。
图B的平面图 ⒉凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点)，一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
⒊其他情况的图都不能一笔画出。(有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成。)
比如附图:(a)为⑴情况，因此可以一笔画成;(b)(c)(d)则没有符合以上两种情况，所以不能一笔画成。
◎顶点与指数:设一个平面图形是由有限个点及有限条弧组成的，这些点称为图形的顶点，从任一顶点引出的该图形的弧的条数，称为这个顶点的指数。
◎奇顶点:指数为奇数的顶点。
◎偶顶点:指数为偶数的顶点
来自 先定义能一笔画出并回到起点的图为欧拉图，连通就是说任意两个节点之间可以找到一条连接它们的线。这个要求看来很重要，直观方法中与这一点对应的是说原图本身不能是分成多个的
设银输困病混础G为一欧拉图，那么G显然是连通的。另一方面，由于G本身为一闭路临话径，它每经过一个顶点一次，便给这一顶点增加度数2，因而各顶点的度均为该路径经历此顶点的次数的两倍，从而均决单会衣革做为偶数。反之，设G连通，且每个顶点的度均为偶数，欲证G为一欧拉图。为此，对G的边数归纳。当m = 1时，G必定为单结360百科点的环，显然这时G为欧拉图。设边数少于m的连通图，在顶点度均为偶数时必为欧拉图，现考虑有m条边的图G。设想从G的任一点出发，沿着边构画，使笔不离开
快只形美二 图且不在构画过的边上重新构画。由于每却修提而建企扩挥只轴修个顶点都是偶数度，笔在进入一个结点后总能离开那个结点，除非笔回到了起点。在笔回到起点是触就时，它构画出一条闭路径，记顶娘念督弦酸段持为H。从图G中删去H的所有边，所得图记为G'，G'未必连通绍烧减始，但其各顶点的度数仍均为偶数.考虑G的各连通分支，由于它们都连通，顶点度数均为偶数，而边数均小于m，因此据归纳假设，它们都是欧拉图。此外，由于G连通，它们都与H共有一个或若干个公共顶点，因此，它们与H一起构成一个闭路径。这就是说，G是一个欧拉图。
1736年，欧拉证实:七小威当桥问题的走法根本不存在。同时，他发表了"一笔画定理":一个图形结行二分根左战例要能一笔画完成必须切重略载符合两个条件，即图形是封闭联通的和图形中的奇点(与奇数条边相连的点)个数为0或2。
欧拉的研究开创了数学上的新分支――拓扑学的先声。
七桥问题和欧拉定理。欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答功玉段早控众方命了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论等刻务清移答且啊祖，人们通常称之为欧拉定理。对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。具有欧拉回路的图叫做欧拉图。
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