卢卡斯数列

卢卡斯数资略径某吸逐信着列 (Lucas Seq来自uence) 和斐波那契360百科数列 (Fibonacci Sequence县茶艺社燃终模格鲁) 有莫大的关系。故本人在介绍斐波那契数以后也得为卢卡斯数列多添一章。

• 中文名称 卢卡斯数列
• 外文名称 Lucas Sequence
• 通项公式 5)/2]^n
• 数列性质  Ln = Ln-1 + Ln-2

基本概述

　　卢卡斯数列的通项公式为 f(n)=[(1+√5)/2]^n+[(1-√5)/2]^n

　　先定义整数 P 和 Q ，使满足一元二次方程判断法来自则: △ = P^2 - 4Q > 0，

　　从而得一方程 x^思皇需井移前浓2 - Px + Q = 0，其根为 a, b。

　　现定义卢卡斯数列为:

　　Un(P,Q) = (句明川a^n - b^n) / (a-b) 及 Vn(P,Q) = a^n + b^n

　　其中 n 为非负整数，得 U0(P,Q) = 0、 U1(P,Q) = 1 、 V0(P,Q) = 2 、 V1(P,Q) = P、...那左以...

　　我们有下列和卢卡斯数列相关的恒等式:

　　Um+n = UmVn - a^nb^nUm-n 、 Vm+n = VmVn - a^nb^nVm-n

　　Um+1 = P*Um - Q*Um-1 、 Vm+1 = P*Vm - Q轮营调鸡松皇*Vm-1 (取 n = 1360百科)

　　U2n = UnVn 、 V2n 顺久规们末溶然社= Vn2 - 2*Qn

　　U2n+1 = Un+1Vn - Qn 、 V2n+1 = Vn+1Vn - PQn

　　若取 (P,Q) = (1通分演须怕宣,-1)，我们便有 Un 为斐波那契数，

　　即 0、 1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 21、 34、 55、 89、 144、 233、 377、 610、 987、 1597、 2584、 4181、 6765等。

　　而 Vn 为卢卡斯数 (Lucas Number)，

　　即 2、 1、 3、 4、 7、 11刘医、18、 29、 47、 建你及农华空三76、 123、 199、 322、 委521、 843、 1364、 2207、 3571、 5778、 9349 等。

　　若取 (P,Q) = (2,-1)，我们便有 Un 为佩尔数 (Pell Number)，

　　即 0、 1打报挥装相精报、 2、 5、 12、 29、 70、 1程农69、 408、 985、 2378、 5741等。

　　而 Vn 为佩尔 - 卢卡斯数 (Pell - Lucas Number) (详见另文《佩尔护数列》)，

　　即 2、 2、 6、 14、 34、 82、 198、 478、 1154、 2786、 6726等。

　　此等全都是数学界很有名的数列。

数列性质

　　卢卡斯数 (简记 Ln) 有很多性质和斐波那契数很相似。如 Ln = Ln-1 + Ln-2，其中不同的是 L1 = 1、 L2 = 3。

　　所以卢卡斯数有:1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ...... (OEIS A000204)，当中的平方数只有 1 和 4，这是由哥恩 (John H. E. Cohn) 证明的。而素数，即卢卡斯素数 (Lucas Prime) 则有: 3, 7, 11, 滑态岁前工29, 47, ...... 。当中现在知道最大的拟素数 (Probable Prime) 为 L574219 ，此数达 120005位之多。

　　我们有下列和卢卡斯数相关的恒等式:

　　Ln2 - Ln-1Ln+1 = 5 (-1)n

　　L12 + L22 + ...... + Ln2 该协查春源= LnLn+1 - 2

　　Lm+n = (5FmFn + LmLn) / 2 (式中的 Fn 为斐波那契数)

　　Lm-n = (-1)n (LmLn - 5FmFn) / 2

　　Ln2 - 5Fn2 = 4 (-1)n

龙虎榜

　　n 数位 发现者 年份

　　56003 11704欧文(Sean A. 排关套屋Irvine) /禾达(Bouk de Water) 2006

　　51169 10694 禾达 (Bouk de Water) / 布靴斯特 (David Broadhurst)

　　2001

　　44课女立指运门范朝攻远507 9302 禾达 (Bouk de Water) / 布靴斯特 (David Broadhurst) /伦斯(John Renze) 2005

　　36来自779 7687 禾达 (Bouk de Water) / 布靴斯特 (David Broadhurst) / 伦斯 (John Renze) 2005

　　35449 7409 360百科禾达 (Bouk de Wat益磁价衡卫基兰er) 2001

　　19469 4069 禾达 (Bouk de Water) / 布靴斯特 (David Broadhurst) 2002

　　19449 3020 都伯纳 (Harvey Dubner) / 凯勒 (Wilfrid Keller) 简著景白再龙应解1995

　　13963 2919奥基斯(Mike Oakes) 2002

　　1急引革钱提2251 2561 禾达 爱某货次并盟(Bouk de Water) / 布靴斯特 (David Broadhurst) 2001

　　10691 2235 都伯纳 (Harvey Dubn练写其划艺er) / 凯勒 (Wilfrid Keller) 19研厂浓沉友业液答四95

　　若我们考虑的是拟素数，即那些通过费马小定理(Fermat's Little Theorem) 逆命题测试的数今学坚利即，这有很大机会是素数，或可能星消错叶云是卡迈克尔数 (Carmich波得ael Number)。那我们可把 n 推至 202667。但正因的把蒸料征硫总案查延品为 n 很大，要判断该数的素性的确不易。

参考资料

　　Caldwell, C. K. "The Top Twenty: Lucas Number."

　　R云求议得罗省础阿ibenboim, P. "The Little Book of Bigger Prime" , New York: S除斤督十尽肥总控终值信pringer-Verlag, 1991

　　Weisstei们直沙n, E. W. "Luca元精片销利河朝百转材客s Number." From MathWorld.

前50项

　　#include <stdio.h>

　　#ifdef _WIN32

　　#defi刑船五单保困独ne i64 __int64

　　#define format "%I64d\n"

　　#else

　　#define i64 long long

　　#define format "%lld\n"

　　#endif

　　int main(int argc, char **argv)

　　{

　　i64 ARRAY[50];

　　int i;

　　ARRAY[0] = 2;

　　ARRAY[1] = 1;

　　printf(format,A志序汉似义川鲁喜时RRAY[0]);

　　printf(format,ARRAY[1]);

　　for(i = 2;i < 50;i ++)

　　{

　　ARRAY[i] = ARRAY[i-1] + ARRAY[i-2];

　　printf(format,ARRAY[i]);

　　}

　　return 0;

　　}