二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边(i，j)所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。
简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附来自的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集。
区别二分图，权例质满践尽犯范精部制关键是看点集是否能分成两个独360百科立的点集。
上图中U和V连向离比校面敌构造的点集所形成的循环圈不为奇数，所以是二分图。
二分图 上图中U和V和W构造的点集所形成的的循环圈为何五级左府抗力何侵兴究奇数，所以不是二分图。
二分图
无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数。
证先证必要性。
设G为二分图<X，E，Y>。由于X，Y非空，故G至少来自有两个顶点。若C为G中任一回路，令
C = (v0,v 1,v2，…，v l-1,v l = v0)
其中诸vi (i = 0,1，…，l)必定相间出现于X及Y中，不妨设
{v0,v2,v4，…，v l = v0} Í X
{v1,v3,v5，…，v l-1} Í Y
因360百科此l必为偶数，从而C中有偶数条边。
再证充分性。
设G的所有回路具有偶数长度，并设G为连通图(不失一般性，若G不连通，则可对G的各连通分支硫钱商斗科决边曲作下述讨论)。
令G的顶点集为V，边集为E，现构作X，Y，使<X，E，Y> = G。取v0ÎV，置
X = {v | v= v0或v到v0有偶数长度的通路}
Y = V-X
X显然非空。现需证Y非空，且没有任何边的两个端点都在X中或都在Y中。
由于|V|≥2并且G为一伟连通图，因此v0必定有相邻顶点，设为v1，那么v1ÎY;故Y不空。
设有边(u,v)，使uÎX，vÎX。那么，v0到u有偶数长度的通路，或u = v0;v0到v有偶数长度的通路，或v = v0。无论何种情况，均现直送做诉育冷有一条从v0到v0的奇数长度的闭路径，因而有从v0到v0的奇数长度的回路(因从闭路径上可能删去的回路长度总为偶数)，与题设矛盾。故不可能有边(u,v)使u,v均在X中。
"没有任何边的两个端点全在Y中"的证明可仿上进马吗问路清行，请读者思考。
求二分图最大匹配可以用最大流或者匈牙利算法。
给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配.
选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题(maximal matching problem)
如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配.
求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的.但是这个算法的复杂度为边数的指数级函数.因此，需要寻求一种更加高效的算法.
增广路的定义(也称增广轨或交错轨):
若P是图G中一条掌倒益细议充独低连通两个未匹配顶点的路径，并且属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边件燃式)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径.
由增广路的定义可以推出下数免失着总述三个结论:
1-P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M.
2-P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M'.
步严3-M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径.
用停脱作态村员敌害端匈牙利算法
用增广路求最径行者立蛋大匹配(称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于又苏1965年提出)
算法轮廓:
名断该 ⑴置M为空
⑵找出一条增广路径P，通过取反操作获得更大的匹配M'代替M
⑶眼文例重复⑵操作直到找不出增广路径为止
g:array[1..maxn,1..maxm]of boolean;
y:array[1..maxm]of boolean;
link:array[1..maxm]of longint;
function find(v:long例领本喜握定脱矿聚司int):boolean;
var i:longint;
begin
for i:=1 to m do
if g[v,i] and (not 刻汽内丝激氢y[ i ]) then
begin
y[ i ]战错谈采置端:=true;
if (link[ i ]=0)or find(link[ i ]) then
begin
link[ i ]:=v;
find:=true华和预缺参排另卫;
exit;
end;
end;
find:=false;
end;
器击练然验联超笔深二政begin
//read the graph into array g[][]
for i:=1 to n do
begin
fillchar(y,sizeof(y),0);
if find(i) then inc(ans);
end;
其中n,m分别为2部图两边节点的个数，两边的节点分别用1..n,1..m编号
g[x][y]=true表示x,y两个点之间有边相连
link[y]记录的是当前与y节点相连的x节点
y记录的是y中的i节点是否被访问过.
算法的思路是不停的找增广轨，并增加匹配的个数，增广轨顾名思义是指一条可以使匹配数变多的路径，在匹配问题中，增广轨的表现形式是一条"交错轨",也就是说这条由图的边组成的路径，它的第一条边是目前还没有参与匹配的，第二条边参与了匹配，第三条边没有..最后一条边没有参与匹配，并且始点和终点还没有被选择过.这样交错进行，显然他有奇数条边.那么对于这样一条路径，我们可以将第一条边改为已匹配，第二条边改为未匹配...以此类推.也就是将所有的边进行"反色",容易发现这样修改以后，匹配仍然是合法的，但是匹配数增加了一对.另外，单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨.可以证明，当不能再找到增广轨时，就得到了一个最大匹配.这也就是匈牙利算法的思路.
代码中find(i)就是寻找有没有从x点i开始的增广轨，如果有就进行上述操作，代码是递归的，所以看起来不是很显然，画个图试试就很清楚了.
//其中n,m分别为2部图两边节点的个数，两边的节点分别用1..n,1..m编号
bool g[n][m];//g[x][y]表示x,y两个点之间有边相连
bool y[m];//y记录的是y中的i节点是否被访问过.
int link[m];//link[y]记录的是当前与y节点相连的x节点
bool find(int v)
{
int i;
for(i=0;i<m;i++)
{
if(g[v]&&!y)
{
y=true;
if(link==0||find(link)
{
link=v;
return true;
}
}
}
return false;
}
int main()
{
//read the graph int array g[][]
for(i=0;i<n;i++)
{
memset(y,0,sizeof(y));
if(find(i)) ans++;
}
return 0;
}
关注微信