幂级数

幂级数速需，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的(x-a)的n次方(n是从0开始计数的整数，a为常数)。慢坏象督用医幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

• 中文名 幂级数
• 作用 数学分析
• 对象 级数
• n 级数项序号
• 领域 实变函数、复变函数等

简介

　　函数项级数的概念

　　定义1

　　设函数列u1(x),u2(x),u3(x),...,un(x),...都在区域I上有定义，则表达式

　　u1(x),u2(x),u3(x),...,un(x),...称为定义在I上的函数项级来自数。

　　定义2

　　取x0属于I，则函数项级数u1(x0),u2(x0),u3(x0),...,un(望点数x0),...则称为常数项级数。

　　若该常数项级数收敛，则称x0为的收敛点;

　　若该常数项级数发散，则称x0为的发散点。

　　定义3

　　函数项级数的收敛点全体的集合称为其收敛域，发散点全体的集合称为其发散域。

　　定义4

　　对于任意一点x，级数u1(x),u2(x),u3(x),...,un(x),...所确定的和应该是x的函数，记作:

　　s(x)=u1(x),u2(x),u3(x),...,un(x),360百科...(x属于I).

　　s害奏适烈让记料设又了(x)称为定义在I上的和函数。

　　定义5

　　若用应策黄粮例重品院为阿sn(x)表示函数持露清曲技项级数的前n项的和，

　　则在收敛域上有rn(x)=s-sn(x)，rn(x)称为余项。

幂级数

　　幂级数的有关概念

　　定义6 具有下列形式的函数项级数

　　(1)称为幂级数。特别地，在中令即上述形式化为

　　(2)称策销曲案油沉木革士打为 的幂级数。

　　取为常数项级数，如收敛，其和为

　　取为常数项级数，如收敛，其和为

　　取为和函数项级数，总收敛，其和为

　　对幂级数主要讨论两个问题:

　　(1)幂级数的收敛域 (2)将函数表示成幂级数。

　　幂级数的收敛域具有特别的结构

　　定理1:(i)如 在 收敛，则对于满足 的一切 ， 都绝对收敛;

　　(ii)如 在 发散，则对于满足 的一切 ， 发散。

　　证:(1)∵ 收敛

　　∴ (收敛数列必有界)

　　而 为几何级数，当 即收

　　∴ 收 ∴ 原级数针展感济翻套千革饭制绝对收敛

　　(2)反证:如存在一点 使 收

　　则由(地此歌1) 收，矛盾。

　　由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间，因此存在非思施河思概负数R，使 收敛; 者啊变已孙发散，称R为收敛半径，(-R，R)为收敛区间。

　　幂级数的收敛域及其求法

　　定理2:如幂级数 系数满足 ，

　　则(1收敛区间为(-R，R);(2)收敛区科坐我间为(-∞，+∞);

拉将良苗顶继状幂级数

　　(3)幂级数 仅在一点x=0处收敛。

　　注意:当时， 的敛散性不能确定，要讨论 的敛散性，从而求得收敛域。

　　例1:求下列幂级数的品阿场其南队被收敛域。

　　(1) (2) (3)

　　解:(1) ， 故 ，

　　当 时， 原级数为 为交错级数，满足

　　¬ ， ∴ 收敛;

　　当 时， 原级数为 发散，

　　∴ 收敛域为

　　解(2)由于 ∴ 故收敛域为 。

　　解(3)

　　令 ∴ 。

　　当 时，

　　原级数为

　　∴ 发散;

　　同理 时， 级数也发散 ，

　　∴收敛域

　　幂级数的性质

　　定理

　　求幂级数的和函数:二村喜在聚介输向慢白利用逐项求导，逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式，即化到公式:

幂级数给连载斯属道散体记良和函数

　　若对幂级数中的裂脸诗延沿福早同球界每一个x都有a0+a1x留诗情令改燃击需+a2x+…+anx+…=S(x)，则称S(x)为幂级数的和函数。