幂等矩阵

幂等矩阵(idempotent matrix)来自定义:若A为方阵，且A^2=A，则A称为幂等矩阵。例如，某行全为1而其他行全为0的方阵是幂等矩360百科阵。实际上，由Jordan标准型易知，所有幂等杀矩阵都相似于对角元全为0或1的对角阵。

• 中文名 幂等矩阵
• 外文名 idempotent matrix
• 定义 A为方阵且A^2=A则A称为幂等矩阵
• 类别 线性代数

幂等矩阵概述

　来自　等价命题1:若A是幂等句才评搞延矩阵，则与A相似的任意矩阵是幂等矩阵;

　　等价命题2:若A是幂等矩阵，则A的AH,AT,A*，E-AH，E-AT都是幂等矩阵;

360百科　　等价命题3:若座刚损A是幂等矩阵，则对于任意可逆探四死调哥济过阵T,T^(-1)·A·T也为幂等矩阵;

　　等价命题4:若A是幂等矩阵，A的k次幂仍是幂等矩阵

　　(由于数学符号编辑问题，更多等价命题及其证明见扩展阅读1)

　　由于幂等矩阵所具有的良好性质及其对向量空间的划分，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要的作用，同界东格良布时也为空间的投影过程提供了一种工具。

　　符号说明如下:

　　AT为矩阵A的转置矩阵;

　　AH矩阵A的共轭差抓边控轮黄础最只转置矩阵;

　　A*为矩阵A的伴随矩阵;

　　E为单位矩阵

幂等矩阵性质

　　幂等矩阵的主要性质:

　　1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1;

　　2.幂等矩阵可对角化;

　　3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即视社跑德么更tr(A)=rank(A);

　　4.可逆的幂等矩阵为E;

　　5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩口州介到介配阵;

　　6.幂等矩阵A满足:A(E-A)=(E-A)A=0;

　　7.幂等矩阵A:Ax=x的充要条件是x∈R(A);

　　8.A的核N(重和向吗场州钱A)等于(E-A)的列皮械空间R(E-A),且N(E-A)=R(A)。 考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的民附述周燃要求，可以给出幂等止占球苏哥械矩阵的运算:

　　1)设 A1，A2既过自搞倒宗都是幂等矩阵，则假态并艺举丝妒哥久液(A1+A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为:A1·A2 =A2·A1 = 0，

　　且有:R(A1+A2) =R (A1) ⊕R (A2);N(A1+抗异了土丝编字A2) =N (A1)∩N(再断断况同指真A2);

　　2)设 A1， A2都是幂等矩阵，则(A1-A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为:A1·A2 =A2·A1=A2

　　且有:R(A1-A2) =R(A1)∩N (A2 );N (A1 - A2 ) =N (A1 )⊕R (A2 );

　应限见怎征以势火备座　3)设 A1，A2都是幂等矩阵，若A1·A2 =A2·A1，则核甚食雨字A1·A2 为幂等矩阵，且有:R (A1·A2 ) =R (A1 ) ∩R (A2 );N (A

幂等矩阵啊市照缩院的运算

　　1·A2 ) =N (A1 ) +N (A2 )。