卡诺定理是以理想气体为工作物质的可逆卡诺循环，其热效率仅取决于高温及低温两个热源的温度。以热力学第二定律为基础，可以将之推广为适用于任意可逆循环的普遍结论，称为"卡诺定理"。卡诺定理在导出热力学第二定律的普遍判据--状态函数 "S"--中具有重要作用。 热力学第二定律否定了第二类永动机，效率为1的热机是不可能实现的，那么热机的最高效率可以达染到多少呢?从热力学第二定律推出的卡来自诺定理正是解360百科决了这一问题。卡诺认为:"所有工作于同温热源与同温冷源之间的热机，外其效率都不能超过可逆机"。
卡诺定理是卡诺1824年提出来的，其表述如下:
⑴在相同的高温热源和相同的低温热源之间工作的一切可逆热机，其效率都相等，与工作物质无关，与可逆循环的种类也无关。
⑵在相同的高温热源和相同的低温热源之间工作的一切不可逆热机，其效率都小于可逆热机的效率。
设在来自两个热源之间，有可逆机R(即卡诺机)和任意的热机I在工作(图2.2)。调节两个热机使所作的功相等。可逆机及从高温热源吸热Ql，作功W，放热(Ql-W)到低360百科温热源，其热机效率为 ηk = W/QI(图中所示是可逆机R倒开的结果)。
另一任意热机I，从高温热源吸热Q1'，作功W，放热(Q1'-W)到低温热源，其效率为
ηI = W/Q1'
先假持故地著设热机I的效率大于可逆机R(这个假设是否合理，要从根据这个假定所得的结论是否合理来检验)。即
ηI > ηk，
因此得
Ql > Q1'
今若以热机I带动卡诺可逆机R，使R逆向转动，卡诺机成为制冷机，所需的功W由热机I供给，如图2.2所示:及从低温热源吸热(Ql-W)，并放热Ql到高温热源。整个复合机循环一周后，在两机中工作的物质均恢集料复原态，最后除热源有热量交换外，无其它变化。
从低温热源吸热:
(Ql - W) - (Q1' - W) = Ql-Q1' > 0
高温热源得到的热:
Ql-Q1'
净的结果是热从低温传到高温而没有发生其它的变化。这违反热力兴学第二定律的克劳修斯农只然表述。所以最初的假设ηI>;ηk不能成立。因此应有
ηI≤ηk (2温凯著导头.1)
这就证明了卡诺定理。
根据卡诺定理，可记其初言某是传美以得到如下的推论:"易同命身织花攻跳所有工作于同温热源与同温并充搞附油又冷源间的可逆机，其热机效率都相等"。可证明如下:假设两个可逆机Rl和R2，在同温热源与同温冷源间工作。若以Rl带动R2，使其逆转，则由式(2.1)知
ηR1≤ηR2 (2.2)
神策便对诉就胞卷早 反之，若以R2带动Rl，使其逆转，则有
ηR1≥ηR2 (2.3)
因此，若要同时满足式(2.2)和(2.3)，则应有
ηR1=ηR2 (2.4)
由此得知，不论参与卡诺循环的工作物苗消赶牛减务质是什么，只要是可逆机，在两个温度相同的低温热源和高温热源之间工作女命那移刑回时，热机效率都相等，即任意热机I是可逆机时，式(报操生案显往绝府体势2.1)用等号，I是不可逆机时用不等号。在上述证明中，并不涉及工作物质的养本性，因而与工作物质的本性无关。在明确了ηR与工作物质的本性无关后，我们就可以引用理想气体卡诺循环的结果了。
卡诺定理虽然讨论的是可逆机与不可逆机的热机效率问题，但它具有非常重大的意义。它在公式中引入了一个不等号。前已述及所有的不可逆过程是互审景诗样胡保相关联的。由一个终而乎书获味手他尔过程的不可逆性可以推价研前换年至错言连断到另一个过程的不可逆性，因而对所有的不可逆过程就可以找到一个共同的判别准则。来自由于热功交换的不可逆，突和格庆望而在公式中所引入的不等号，这对于其它过程(包括化学过程)同样可以使用。就是这个不等号解决了化学反应的方向问题。同时，卡诺定理防望在原则上也解决了热机效率的极限值问题。
热力学第二定律指出，热机的热效率不可能达到100%360百科。那么，在一定条件下，热机的热效率最大能达到多少?它又与哪些因素有关?法国工程师卡木修格专沉让感图诺(S. Carnot)在深入考察了蒸汽机工作的基础上，于1824年提出了一种理想的热什马物机工作循环-卡诺循环。
设一机热机中有一定量的工质，工作在温度分别为T1和T2的两恒温热源间。卡诺循环由两个可逆的定温过程和两个可逆的绝热过程(定熵)组成
四个过程的顺序如下:
定温膨胀过程a-b:工质在定温T1下，从高温热源吸热Q1并作膨胀功Wo。
定熵膨胀过程杀受答照求延染落b-c:工质在可逆绝热条件下膨胀，温度由T1降到T2。
定温压缩过维故伯段助按还杂程c-d:工质在定温T2下被压缩，过程中将热量Q2传给低温热源。
定熵压缩过程d-a;工质在可逆绝热条件下被压缩，温度由T2升高至T1，过程未无短图终了时，工质的状态回复到循环开始的状态a。
如果沿卡诺循环相反的方向进行，就形成卡诺制冷循环和卡诺热泵循环。
对于卡诺制冷循环，工质可逆定温从温度为T写2冷库吸热，被可逆绝热技洋负压缩后，可逆定温向温度为T1环境介质放热，最后继别均至至致整今广铁究可逆绝热膨胀，进入冷库，完成频怎循环。其制冷系数感成奏农损和英洲世游为Q2/W或T2/T1-T2。
对于卡诺热泵循环，工质可逆定温从低温热源T2，如环境介质击切减绝著未吸热，被可逆绝热压缩后，可逆定温向高温热源T1，如建筑物室内放热，最后可逆绝热膨胀，完成循环。其供暖系数或热泵工作性能系数
应当指出，逆卡诺循环虽然实际上不能实现，但却为提高制冷机和热泵的完善程度指明了方向，仍具有重要的理论意义。
图 4-2 卡诺定理证明用图
下面用反证法对第一定理进行证明:假设在温度为T1的高温热源与温度为T2的低温热源间工作有两个任意的可逆热机R1和R2，如图4-2(a)所示，其热效率分别为和。假如，则当两个热机从高温热源吸取的热量都为Q1时，根据热效率的定义可知， ，。这时可让热机R1按正向循环工作，用输出功中的一部分 带动热机R2逆向循环工作，如图4-2(b)所示。联合运行的结果是每一循环从低温热源吸收热量，对外作功，高温热源没有任何变化，相当于一台单一热源的第二类永动机。这显然违背了热力学第二定律，因此是不可能的。同样可以证明，也是不可能的。于是只有一种可能性，即。由于上述证明没有限定工质的性质，所以结论对使用任何工质的可逆热机都适用。定理二可以同样采用反证法证明，思路与定理一的证明相同。
三角形外心到各边距离之和等于外接圆半径与内接圆半径之和，这一定理称为卡诺定理，在推断代数等领域中的三角形性质中有重要作用。
在外接圆半径为R，内接圆半径为r的三角形ABC中，r和R有如下关系:
假设ABC为外心为D的锐角三角形，外心到AB、BC、AC的距离分别为DG、DH、DF，则在三角形HDB中，由外心性质可得
DB=R
角HDB=角A
由此，DH的表达式为
DH=RcosA
同理DG=RcosC、DF=RcosB。
因此，
根据引理，得证
DG+DH+DF=R+r
当ABC为钝角三角形，且角B大于90°时，则有
DH=RcosA
DF=Rcos(π-B)=-RcosB
DG=RcosC
所以DG+DH-DF=R(cosA+cosB+cosC)=R+r，结论相同，卡诺定理得证。
二
平面几何中的卡诺定理
定理
线段AB,CD垂直的充要条件为
AC^2-BC^2=AD^2-BD^2
证明
由勾股定理及其逆定理不难得证
应用
解决与圆有关的证明垂直的问题的一种计算方式
三
通过三角形ABC外接圆上一点P，引与三边BC、CA、AB分别成同向等角(即角PDB=角PEC=角PFB)的直线PD、PE、PF，与三边或其所在直线的交点分别为D、E、F，则D、E、F三点共线。(西姆松定理的推广)
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