强连通

强连通在计算机图论中,图来自G中任意两点360百科都都存在着点V到点V的路径(路径,若途径W中的点和边都不重复,则称为鲁过章副损开路径) 当然,这是对有向图而言的,无图称为连通.对任意两个顶点 x 和 y ，都存在一条有向路从 任x 到 y 油底将差文笑，也存在一条有向路从 y 到 x。

• 中文名 强连通
• 外文名 Strongly Connected
• 领    域 计算机图论
• 例    子 有向图

概念

强连通简介

　　在计算机图论中,强连通(Strongly Connected)是指有向图G(Directed Graph)中任意两点v1、v2之间都存在着v1到v2的路径(path,若途径的点和边都不重复,则称为路径)及v2到v1的路径。

　　定理:

　　一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，它至少包含每个节点一次。

　　证明:

　　充分性

　　如果G中有一个回路，它至少包含每个节点一次，则G中任两个节点都是互相可达的，故G是强连通图。

　　必要性

　　如果有向图是强连通的，则任两个节点都是相互可达。故必可做一回路经过图中所有各点。若不然则必有一回路不包含某一结点v，并且v与回路上的个节点就不是相互可达，与强连通条件矛盾。

有向图

　　在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

算法

　　直接根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。

强连通分量

　　Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

　　定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出，

　　Low(u)=Min{DFN(u),Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点

　　DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)}

　　当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

　　算法伪代码如下

　　tarjan(u)

　　{

　　DFN[u]=Low[u]=++Index // 设定次序编号和Low初值

　　Stack.push(u) // 将节点u压入栈中

　　for each (u, v) in E // 枚举每一条边

　　if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过

　　tarjan(v) // 继续向下找

　　Low[u] = min(Low[u], Low[v])

　　else if (v in S) // 如果节点v还在栈内

　　Low[u] = min(Low[u], DFN[v])

　　if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根

　　repeat

　　v = S.pop // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点

　　print v

　　until (u== v)

　　}

　　接下来是对算法流程的演示。

　　从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。

　　返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。

　　返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4像节点1的后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，不再访问6，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

　　继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=4。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。

　　至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

　　可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

　　求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法，其时间复杂度也是 O(N+M)。与Trajan算法相比，Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。 在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法，两者可以类比、组合理解。

双连通分量

　　求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法，在此对Tarjan表示崇高的敬意。

　　void tarjan(int i)

　　{

　　int j;

　　DFN=LOW=++Dindex;

　　instack=true;

　　Stap[++Stop]=i;

　　for (edge *e=V;e;e=e->next)

　　{

　　j=e->t;

　　if (!DFN[j])

　　{

　　tarjan(j);

　　if (LOW[j]<LOW)

　　LOW=LOW[j];

　　}

　　else if (instack[j] && DFN[j]<LOW)

　　LOW=DFN[j];

　　}

　　if (DFN==LOW)

　　{

　　Bcnt++;

　　do

　　{

　　j=Stap[Stop--];

　　instack[j]=false;

　　Belong[j]=Bcnt;

　　}

　　while (j!=i);

　　}

　　}

　　void solve()

　　{

　　int i;

　　Stop=Bcnt=Dindex=0;

　　memset(DFN,0,sizeof(DFN));

　　for (i=1;i<=N;i++)

　　if (!DFN)

　　tarjan(i);

　　}