这里有一块形状不规则的土地，要测量它的面积，怎么办呢?一个叫黎曼的德国数学家(Bernhard Riemann, 1826-1866)，他想了个办法:将这不规则图形切成一条条的小长条儿，面然后将这个长条近似的看成一个矩形，再分别测量出这些小矩形的长度，再计算出它们的面积，把所有矩型面积加起来就是这块不规则地的面积。这就是著名的"黎曼和"。小长条宽度趋于0时，即为面积微分，各个面积求和取极限即为定积分。虽然牛顿时代就给出了定积分的定义，但是定积分的现代数学定义却是用黎曼和的极限给出。
对一个在闭区间有定义的实值函数，关于取样分割、的黎曼和定义为以下和式:
和式中的每一项是子区间长度与在处的函数值的乘积活措。直观地说，就是以标记点到360百科X轴的距离为高，以分割的子区间玉阻为长的矩形的面积。
不太严格地来说，黎曼积分就是当分割班已怎妈扩政怕认振越来越"精细"的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对"越来越'精细'"作出严格的定义。
要使得"越来越'精细'"有效，需要把趋于0。如此中的函数值才会与接近，矩形面积的和与"曲线下方"的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。
严格定义如下:是函数在闭区间上的黎曼积分，当且仅当对于任意的，都存在，使得对于任意的取样分割、，只要它的子区间长度最大值，就有:
减记也就是说，对于一个函谈执烧雷笔数，如果在闭区间上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数的黎曼和都会趋向于一个确定的值台逐，那么在闭区间上的黎曼积分存没法督数在，并且定义为黎曼和促阿的极限，这时候称函数为黎曼可积的。
这个定义的缺陷是没有比乙火审密非浓可操作性，因为要检验所有的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。
另一个定义: 是函数父基攻兰向画吃赶应在闭区间上的黎曼积分，当且仅当对于任意的，都存微套较谓搞资感理叶在一个取样分割、，使得对于任何比其"精细"的分割 and ，都有:
知 这两个定义是等价的。如果有一个满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大拉铁味长似香值显然也会小于，于是满足
其次证明满足第二个定义的也满足第一个定义。首先引进达布积分的概念，第二个定义和达气未州吧德取从神第布积分的定义是等价的，具体见达布积分(达布积分那一文章里察突鲁钱府孔女操酒到并没有说明这个原因，来源请求)。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割使得它的上达布和与下达布和都与相差不超地逐但精图轮确九福过。令等于，其中和是在上的上确界和下确界。再令是和中的较小者。可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于时，关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差，所以和至多相差。
由于以上原因，黎曼积分通常被定义为达布积分(即第二个定义)，因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。
由于一个函数的黎曼积分是一个实数，因此在固定了一个区间后，将一个黎曼可积的函数设到其黎曼积分的映射是所有黎曼可积的函数空间上的一个线性泛函。
无论a、b、c之间的大小关系如何，以上关系式都成立。
黎曼积分可推广到值属于维空间的函数。积分来自是线性定义的，即如果，则。特别地，由于复数是实数向量空间，故值为复数的函数也360百科可定义积分。
黎曼积分只定鲜负河英临义在有界区间上，扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分，即如同反常积分(improper integral)一样。我们可以令
不幸的是，这并不是很合适。平移不变性(如果把一个函数向左或向让红析铁案依诉居帝右平移，它的黎曼积分应该保持不变)丧失了。例如，令若，，若。则刘拉殖环对所有
但如果我们将向右平移一个单位得到，则对所有，我们得到
由于这是不可接受的，我们可以尝试定义:
此时，如果尝试对上面的积分，我们得到，因为我们先使用了极限。如果使用相反的极限顺序，我们得到。
这同样也是不可接受的，我们要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足，依然不是我们想要至究传承失的，因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如，令在上，其它域上等于0。对所有，。但一致收敛于0，因此的积分是0。因此。即使这是正确的值，可看出对慢演强武志展南书于极限与普通积分下丰九可交换的重要准则对反常积分不适用。这限制了黎曼积分的应用。
一个更好的途径是抛弃黎曼积分而季由几林妈采用勒贝格积分。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见，但不难证明每个黎曼速较可积函数都是勒贝格可积的，并且当二者都有定义时积分值也是一致的。
扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子，粗略地说，这给出另一种意义上长度间距的积分。这是黎曼-斯蒂尔切斯定方儿积分所采用的方法。
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