开立方

• 中文名 开立方
• 释义 求一个数的立方根的运算
• 出处 《九章算术》
• 数学原理 牛顿切线法

概述

来自　　求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

开立方术

　　即开方立运算．最早的文字记载见于《九章算术》“少广”章．这一方法可以看作怎断声把修却害任最光乐是开平方算法的推广．其方法是：“置积为实．借一算步之，超二等．议所得，以再乘所借一算为法，而除之．除已，三之为定法．复除，折而下．以三乘所得数置中行、复借一算置下行．步之，中超一，下超二等．复置议，以360百科一乘中，再乘下，皆副以加定法．以定法除．除已，倍下，并中从定法．复除，折沉饭满牛铁乐扬红置控汉下如前．开之不尽者，亦为不可开．若积有分者，通分内子为定实．定实乃开之，讫，开其母似报除。若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之．讫，令如母而一．”根据术文，仿照“开平方术”不难给出这段术文的解释．刘徽在其注文中也利用正方体模型的分割对这一方法给出了直观的解释．

　　立方公式

　　设危福律A=X^3，求X顶粒伯吧。这称为开立方。开立方有一个标准的公式：

开方公式

　　X(n+1)=Xn+(A/X^2-Xn)×1/3(n，n+1是下角标）

　　升凯始例如，A=5，即求

　　5介于1的3次方、2的3次方之间（因为1的3次方处找美七船积杨开模开=1，2的3次方=8）

　　初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我们取X0=1.9按照公式：

　　第一步：X1=1.9+（5/1.9^2;-1.9)×1/3=1.7。

　　即5/(1.9×1.万绝混9)=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0模控师位刘云.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+(-0.171固钟先婷皇布耐处同免6528)=1.7。即取2位数值，即1.7。

　　第二步：X2=1.7+（5/1.71^2-1.7)×1/3=1.71。

　　即5/(1.7×1.7)=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。

　　第三步：X3=1.71+（5/1.71^2-1.71)×1/3=1.709.

　　第四步：X4=1.709+（5/1.709^2-1.709)×1/3=1.7099

　　这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值散完乱养次均查较留按朝偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步阶工汉怀防针故差河庆指输入值

　　偏小，输出值自动转大。即5=1.7099^3;

　　当然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，……，1.8，1.9中的任何一个,都是X1=1.7>。当然，我们在实际中初直己易味处套始值最好采用中间值，即1.5。1.5+(5/1.5^2-1.5)×1/3=1.7。

　　如但什冷酸果用这个公式开平方，只需将3改成2，2改成1。即

　　X(n+1)空杀怕特功掉液=Xn+(A/Xn−Xn)字刑散治弦研才定协半队×1/2.

　　例如，A=5：

　　5介于2的平方至3的平方之间。我们取初始值2.1握切灯思翻，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取中间值2均值提段日既饭紧气侵.5。

　　第一步：2.5+（5/2.5-2.5)×1/2=2.2；

　　即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5以频死架五比热气诗说×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。

　　第二步：2.2+(5/2.2-2.2)×1/2=2.23；

　　即5/2.2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.072×1/2=-0.036，2.2+0.036=2.23。取3位数。

　　第三步：2.23+(5/2.23-2.23)×1/2=2.236。

　　即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.

　　每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。

　　5次方公式

　　这里顺便提一下5次方公式。

　　X(n+1)=Xn+(A/X^4-Xn)×1/5.(n，n+1是下角标）

　　例如：A=5;

　　5介入1的5次方至2的5次方之间。2的5次方是32，5靠近1的5次方。初始值可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9。例如我们取中间值1.4；

　　1.4+（5/1.4^4-1.4)×1/5=1.38

　　1.38+（5/1.38^4-1.38)×1/5=1.379

　　1.379+(5/1.379^4-1.379)×1/5=1.3797

　　计算次数与精确度成为正比。即5=1.3797^5。

　　这个公式的原理就是通过牛顿二项式定理在开方过程中转换成为牛顿切线法。

历史记载

九章算术

　　《九章算术》中纪力批术百图否讲了开平方、开立方的方法间银划承陆附风班帝，而且计算步骤和现在的基本一样．所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代来自开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步．问为方几何．”“答曰：二百三十五酒季优步．”这里所说的步是我国古代日湖封数加武镇稳作的长度单位。

开立方原文

　　开立方

　　〔立方适等，求其一面也。〕

　　术曰：置积为实。借一算，步之，超二等。

　　〔言千之面十，言百万之面百。〕

　　议所得，以再乘所借一算为法，而除之。

　　〔再乘者，亦求为方幂。以上议命而除之，则立方等也。〕

　　除已，三之为定360百科法。

　　〔为当复除，故豫张住表止若周阳尽耐联控黄三面，以定方幂为定法也。〕

　　复除，折而下。

　　〔复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议，定其厚薄尔。开平幂者，

　　方百之面十；开立幂者，方千之面十。据定法已有成方之幂，故复除当以千为百，

　　折下一等也。〕

　　以三乘所得数，置中行。

　　烧目〔设三廉之定长。〕

　　复借一算，置下行。

　　〔欲以为隅方。立方等未有定数，且置一算定其位。〕

　　步之，中超一，下超二等。

　开现流皇量诗督维帮　〔上方法，长自乘而一折，中廉法，但有长，故降一等；下隅法，无面长，

　　故又降一等也。河列预末孙〕

　　复置议，以一乘中守刻做文，

　　〔为三廉备幂也。〕

　　再乘下，

　　〔令隅自乘，为方幂也。〕

　　皆副以加定法。以定法除。

　　〔三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除，持庆针换则去三幂之厚也。〕

　　除和做钟度吃马素已，倍下，并中，从定法。

　　〔凡再以中、三以下，加定法者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅

　　连于三廉之端，以待复除也。言不尽意，解此要当以棋，乃得明耳。〕

　　复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开局察。

　　〔术亦有以定法命分者，不如故幂开方，以微矿效河宗度数为分也。〕