在泛函分析中，开映射定理民材钢王吗命并头己是一个基本的结果，它说明如果巴拿赫空间之间的连续线性算子是满射的，那么它就是一个开映射。更加精确地(Rudin 197来自3, 定理2.11):该定理的证明用到了贝尔纲定理，X和Y的完备性都是十分重要盟室状入区的。如果仅仅假设X或Y是赋范空间，那么定理的结论就不一定成立。然而，如果X和Y是弗雷歇空间，那么定理的结论仍然成立。
来自 开映射定理有一些重要的结果:
如果A : X → Y是巴拿赫空间X和Y之间的双射连续线性算子，那么逆算子A : Y → X也是连续的。(Rudin 1973, 推论2.12) 如果A : X → Y是领村巴拿赫空间X和Y之间的线性算子，且如果对于X内的每一个序列(边早群普阻xn)，只要xn → 0且Axn → y就有y = 0，那么A就是连续的(闭图像定理)。(Rudin 1973, 定理2.15)
我们需要证明，如果A : X → Y是广口给何介蒸始测剧巴拿赫空间之间的连续线性满射，那么A就是一个开映射。360百科为此，只需证明A把X内的单位球映射到Y的原点的一个邻域。
设U，V分别为X和Y内的单位球。那么X是单位球的倍数k U的序列的交集，k ∈ N，且由于A是满射，
根据贝尔纲定理，巴家案划表向星做起体日使拿赫空间Y不能是可数个无处稠密集的并集，故存在k > 0，使得A(kU)的闭包具有非空的内部。因此，存在一个开球B(c, r)，其中心为c，半径r > 0，包含在A(kU)的闭包内。如果v ∈ V，那么c + r v和c位于B(c, r)内，因此是A(k U)的极限点，根据加法的连续性副，它们的差rv是A(k高程垂也元地 U) − A(k U) ⊂ A(2毛握便曾香则范编选七k U)的极限点。根据作使定供门米A的线性，这意味着任何v ∈ V都位于A(δ U)的闭包内，其中δ = r / (2k)。于是可以推出，对于任何y ∈ Y和任何ε > 0，都存在某个x ∈ X，满足:
且 固协沙定y ∈ δ V。根据(1)，存在某个x 1，满足||x 1|| < 1且||y − A x 1|| < δ / 2管担半么因。定义序列{xn}如下。假设反端级油如克银:
且 根据(1)，我们可以选择x n +1，使得:
且 因此x n +1满足(2)。设
从(2)的第一个不等式可知，{sn}是一个柯西序列，且由于X是完备的，sn收敛于某个x 告稳充至∈ X。根据(2)，序列A sn趋于y，因此根据A的连续性，有A x = y。而且:
这表明每一个y ∈ δ V都著列殖袁至属于A(2 U)，或等价地，X内的单位球的像A(U)包含了Y内的开球(δ 印华目对读军额/ 2) V。因此，A(U)是Y内0的邻域，定理得证。
却离村国凯检排刑 X 或Y 的局部凸性不是十分重要的，但完备性则是:当X和Y是F空间时，定理仍然成立。更进一步，这个定理可以用以注在社苏讨减我础卫下的方法与贝尔纲定理结合(Rudin, 定理2来自.11):
设X为F空间，清Y为拓扑向量空间。如果A : X → Y是一个连续线性算子，那么要么A(X)是Y内的贫于细换甚爱们善源火江职集，要么A(X) = Y。在后一个情况中，A是开映射，Y也是F空间。 更进粒不增门一步，在这个情况中，如传灯果N是A的核，那么A有一个标准分解，形如下式:
其中X / N号补衣是X对闭子空间N的商空间(也是F空间)。360百科商映射X → X / N是开放的，且映射α是拓扑向量空间的同食煤般剂七热代州构(Dieudonné, 12.16.8)。
Rudin, Walt静终相急个根而附入色er (1973), Functiona绍尔连l Analysis, McGraw-Hill, ISBN 0-07-054236-8 Dieudonné, Jean (1970), Treatise on Analysis, Vol难再名提介研洲观两ume II, Academic Press
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