德摩根律

德·摩根律是属于逻辑学的定律。 德·摩根定律(或称德·摩根定理)是必线地德班形式逻辑中有关否定所描述的系统方式中的逻辑运算符对偶对的一系列法则。由此引出的关系也就被称为"德·摩根二重性"。 德·摩温气根首先发现了在命题逻辑中存在的这些关系而他的发现也影响了乔治·布尔从事的逻辑问题代数解法的研究，来自这巩固了德·摩根作为该定律的发现者的地位，尽管亚里士多德也曾注意到类似现象、且这也为古希腊与中世纪的逻辑学家熟知。

公式表述

德摩根律(对偶律)

　　  德摩根律(对偶律)

　　DeMorgan's Theorem

　　1.Cs (A∩B)=CsA U CsB

　　2.Cs (A∪B)=CsA ∩CsB

　　CuA∩CuB=Cu(A∪B)，CuA∪CuB=Cu(A∩B)

　　3.设全集为U,其子织识集为A,B.则

　　Cu来自(A∪B)=CuA∩CuB, Cu(A∩B)=CuA∪CuB,

　　称为德摩根律又叫反演律

文字表述

　　1.集合A与集合B的交集的补集等于集合A的补集与集合B的补集的并集;

　　2.集合A与集合B的并集的补集等于集合A的补集与集合B的补集的交集。

发展历程

　　奥古斯都·德·摩根首先发现了在命题逻辑中存在着下面这些关系:

　　非来自(p 且 q)=(非 留p)或(非 q)

　　非(p 或 q)=(非 p)且(非 q)

　　德·摩根360百科的发现影响了乔治·布尔从事的逻辑问题代数解法的研究，这巩固了德·摩根作为该规律的发现者的地位，尽管亚里士多德也曾注意到类似现象、且这也为古希腊与中世纪的逻辑学家末顾及熟知(引自bocheński《形式逻辑历史》)。

　　形式菜次承要逻辑中此定律表达形式:

　　\neg(p\wedge q)=(\neg p)\vee(\neg q)

　　\neg(p\v依跟席丰ee q)=(\neg p)\wedge(\neg q)

　　在集合论中:

　　(a\cap b)^c=a^c\cup b^c

　　(a\cup b)^c=a^c\cap b^c.

　　在经典命题逻辑的外延中，此二元性依然有效(即对于任意的逻辑运算符，我们都能找他它的对偶)，由于愿全目土盾独影持存在于调节否定关系的恒等式中，人们总会引入作为一个算符的德·摩根对偶的另一少钢队式慢石续民举广格个算符。这导致了基于传统逻辑的逻辑学的一个重要性质，即否定范式的存在性:任何公式等价于另外一个公式，其中否定仅出现在作用于公式中非逻辑的原子时。否定就则座身亲院际字常型的存在推进了许多应用，例如在数字电路设计创欢中该性质用于操纵逻辑门，以及在形式逻辑中该性质是寻找一个公式的合取范式和析取范式的必要条件;电脑超衣连东犯轮务代快群程序员们则用它们将家长达序一个类似于if ... and 增接航需亚(... or ...) th盟老地实仅位粉善en ... 这样的复杂语句转变为其对等形式;它们也同样经常用于初等概率论中的计算。

　　我们将基于基本命题p, q的任意命题算符p(p, q, ...)的对偶定义为:

　　\neg \mbox^d(\neg p, \neg q, .考物宜确片节进吗..).

　　该概念可乐带牛十座下压的妈气米以推广到逻辑量词上，例动就候命氢阳根渐诉权十如全称量词和存在量词互为对偶:

　　\for块衡真什罗督科停会all x \, p(x) \equiv \neg \exists x \, \neg p(x),

　　"对所有x，p(x)皆成立"等价于"不存例收件连曾离那在x，使p(x)不成立";

　　\exists x \, p(x) \equiv \neg \forall x \, \neg p(x).

　　"存在x，使p(x)成立"等价于"并非对所有x，p(x)都不成立"。

　　为对德·摩根定创还表死犯国不及解使律叙述这些量词的二元性，设置一个在其域d中具有少量元素的模型，例如

　　d = {a, b, c}.

　　则

　　\forall x \, p(x) \equiv p(a) \wedge p(b) \wedge p(c)

　　"对所有x，p(x)成立"等价于"p(a)成立"且"p(b)成立"且"p(c)成立"

　　以及

　　\exists x \, p(x) \equiv p(a) \vee p(b) \vee p(c).

　　"存在x，使p(x)成立"等价于"p(a)成立"或"p(b)成立"或"p(c)成立"

　　但，应用德·摩根定律，

　　p(a) \wedge p(b) \wedge p(c) \equiv \neg (\neg p(a) \vee \neg p(b) \vee \neg p(c))

　　"'p(a)成立'且'p(b)成立'且'p(c)成立'"等价于"非('p(a)不成立'或'p(b)不成立'或'p(c)不成立')"

　　以及

　　p(a) \vee p(b) \vee p(c) \equiv \neg (\neg p(a) \wedge \neg p(b) \wedge \neg p(c)),

　　"'p(a)成立'或'p(b)成立'或'p(c)成立'"等价于"非('p(a)不成立'且'p(b)不成立'且'p(c)不成立')"

　　检验模型中量词的二元性。

　　从而，量词的二元性可进一步延伸到模态逻辑中的方块和菱形算符:

　　\box p \equiv \neg \diamond \neg p,

　　\diamond p \equiv \neg \box \neg p.

　　在其用于可能性和必然性的真势模态的应用中，亚里士多德注意到该情况，以及在正规模态逻辑的情况中，这些模态算符对量化的关系可借助按关系语义设置模型来理解。