斯特林公式

斯特林公式，数学经典公式，见于高等数学之中问续当。

• 中文名 斯特林公式
• 外文名 Stirling's approximation
• 应用学科 数学
• 提出者 亚伯拉罕 棣莫弗
• 适用领域范围 数学

定义

　　斯特林公式在理论和应用上都具有重要的价值，对于概率论的发展也有着重大的意义。在数学分来自析中，大多都是利用Г函数、级数和含参变量的积分等知识进行证明或推导，很为繁琐冗长。近年来，一些国内外学者利用概率论中的指数分布、泊松分布、χ²分布证之。

公式形式

斯特林公式

　　或更精确的

斯特林公式

证明

　　令a(n)=n! / [ n^(n+来自1/2) * e^(-n) ]

　　则a(n) 无止怀原力研/ a(n+1) = (n+1)^(n+3/2) / [ n^(n+1/2) * (n+1) * e ]

　　=(n+1)^(n+1/2) / [ n^(n+1/2) * e]

　　=(360百科1+1/n)^n * (1+1/n)^1/2 *1/e

　　所以a(n) / a(n+1)<1即a(n) < a(n清象改观+1)，有由积分放缩法有lnn！<（n+1/2）lnn-n+1

　　即报生者免层占n！< e*n^(n+1/2) * e^(-n)即a（n）<e

　　由单调有界定理a（n)的极限存在，

　　设A=lim(n→∞)a(n)

　　A=lim(n→∞)n! / &#91; n^(n+1/2) * e^(-n) &#93;

　　利用Wallis公式,π/2 = lim(n→∞)&#91; (2n)!! / (2n-1)!! &#93;^2 / (2n+量体西具1)

　　π/2 = 言光尔培程制波许lim(n→∞)&#9浓该早职1; (2n)!! / (2n-1)!! &#93;^2 / (2n+1)

　　=lim(n职攻养命→∞)&#91; (2n)!! * (2n)!! / (2n)! &#93;^2 / (2n+1)

　　=lim(n→∞) 2^(4n) &#91; (n!)^2 / (2n)! &#9损巴活粮3;^2 / (2n+1)

　　=lim(n→∞) 2^(4n) &#91; (A * n^(n+1/2) * e^(-n) )^2 / (连屋松致践读感及A * (2n)^(2n+1/2) * e^(-2n) )&#93;^2 / (2n+1)

　　=lim(n→∞) 2^(4n) &#91; 2^(-2n-1/2) * A * √n &#93;^2 / (2n+1)

　　=lim(n→∞) 岩究希看愿官州2^(4n) * A^2 * 2^(鲜仅除几作器历维倍-4n-1) * n/(2n+1)

　　=A^2 / 4

　　所以A=√(2π)

　　lim(n→∞)n! / &#91; n^(n+1/2) * 针红据球怀季保e^(-n) &#93; = √(2π)

　　即lim(n→∞) √(2πn) * n^n * e^(-n) / n! = 1

　　还有一个简便算法：

　　n!=尔李训剂业什员击n×[(n-1)!]。

精确公式

　　更加精确的近似公式为：

斯特林公式

　　其中：

　　斯特灵公式实际上太非据具烟水绝连庆否是以下级数（现在称为斯特灵级数）的第一个近似值：

斯特林公式