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直线方程

几何学基本概煤轴啊胜酸念,从平面解析几何的角来自度来看,平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的360百科图形。求两条直线的交点,只需把这两个二元一次方程联立求解,当这个联立方程组无解时,两直线平行;有无穷多解时,两直线重合;只有一解时,两直线相交于一点

  • 中文名 直线方程
  • 表达形式 一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)[适用于所有直线]
  • 直线的交点 直线L1:ax+by+c=0和直线L2:dx+ey+f=0如果有交点P,
  • 距离计算 点到直线距离

数学定义

直线方程

 来自 几何学基本概念:从平面解析几何的角度来看,平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。求两条直线的交点,只需把这两个二元一次方程联立求解,当这个联立方程组无解时,两直线平行;有无穷多解时,两直线重合;只有一解时,两直线相交于一点。常用直线与 X 轴正向360百科的 夹角(叫直线的倾斜角)或该角的正切(称直线的斜率)来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。可以通过斜率来判问女完沿升以打科断两条直线是否互相平行或互相垂直,也可计算它们的交角。直线与某个坐标风九良举少呀资电厚办马轴的交点在该坐标轴上的坐标,称为直线在该坐标轴上的截距。直线在平面运血宁宽以械题上的位置,由它的斜率和一个截距完全确定。在抓现要哥华草转你侵空间,两个平面相交时,交线为一条直线。因此,在空间直角坐标系中,最连游庆味状用两个表示平面的三元一次方程联立,作为它们相交所得直线的方程。

空间方向

  空间直线的方向用一个与该直线送缺里纪万红氧平行的非零向量来表示,该向量称为这条直助布相牛线的一个方向向量。直线在空间中的位置, 由它剧神底育美破训完想延节经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定。在欧几里得几何学中,直线只是一个直观的几何对象。在建立欧几里得几何学的公理体系时,直线与点、平面等都是不加定义的,它们之但存诉拿十含讲间的关系则由所给公理刻画。

表达形式

  1:一般式:适用于所来自有直线

  Ax+By+C=0 即论事药定眼状破德货(其中A、B不同时为0)

  2: 点斜式:知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存360百科在,则直线可表示为

  y-y0=k(x-x0)

  当k不存在时,直线可表示为:x=x0

  当k为0考给利见加半们北张原啊时,直线可表示为:y=y0

  3:截距式:不适用范围:任意与坐标轴垂直的直线和过原点的直线

  知道直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),则直线可表示为

  x/a+y/b=1

  4:斜截式: Y=KX+B (K≠0) 当k>0时,y随x的增假子煤转大而增大;当k<0时,y随语三做货末火讨x的增大而减小。

  两直线平行时 K1=K2

  两直线垂直时 K1 X 办活迫族矛至K2 = -1

  5:两点式

  x1不等于x2 y1不等于y2

  (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)

  6:法线式:过原点向直线做一条的垂线段,该垂线段所在直线的倾斜角为α,p是该线段的长度

  x·cosα+ysinα-p=0

  7:点向式:知道直线上一点(x0美矛田犯宗良映精,y0)和方向向量送相夜命根井混支原(u,v )

  (x-x0)/u=(y-y0)/v (u≠0,v≠0)

  8:落至苦述奏方法向式:知道直线上一点(x0,y0)和与之垂远述业式精直的向量(a,b)

  a(x-x0)+b(y-y0)=0

距离计算

点到直线距离

  点P(x0,y0)到直线Ι:Ax+By+C=0居外妈快的距离

  d=|Ax0+By0+C|/√A^2+B^2

两平行线之间距离

  若两平行直线的方程分别为:

  Ax+By+C1=O Ax+By+C科怕必住讨垂氧年科击2=0 则

  这两条平行直线间的距离d为:

  d= 丨C1-C2乐服宪过优鱼犯损条饭丨/√(A^2+B^2)

求对称图形

  ⑴点(x1,y1)关于点(x0,y0)对称的点:(2x0-x1,2y0-y1)

  ⑵点(x0,y0)标鲜湖依关于直线Ax+By+C=0对称的点:

  ( x0-2A(A须质x0+By0+C)/(A^2+B^2) ,y0-2B(Ax0+By0+C)/(A^2+B^2) )

  ⑶直线y=kx+b关于点(x0,y0)对称的直线:y法座物入温受-2y0=k(x-2x0)-b

  ⑷直线1关于不平行的直线2对称:定点法、动点法、角平分线法

求对称轴

  ⑴两点的对称点:①求中点坐标

  ⑵两点的对称轴:①求中点坐标②求线段斜率③求与线段垂直的对称轴斜率④点斜式

  ⑶两条平行线的对称轴:①设P(x,y)在对称轴上②设方程d(Pl1)=d(Pl2)

  ⑷两条相交且不垂直的直线的对称轴:①角平分线斜率公式②k0k1=-1③求交点房满基面与轴们④点斜式

局限性

  各种不同形式的直线方程的局限性:

  (1)点斜式和斜截式都不能表示斜率不存在的直线;

  (2)两点式不能表示与坐标轴平行的直线;

  (3)截距式不能表示与坐标轴平行或过原点的直线;

  (4)直线方程的一般式中系数A、B不能同时为零.

位置关系

  若直线L1:A1x+B1y+C1 =0与直线 L2:A2x+B2y+C2=0

  1. 当A1/A2≠B1/B2时, 相交

  2.A1/A2=B1/B2≠C1/C2, 平行

  3.A1/A2=B1/B2=C1/C2, 重合

  4.A1A2+B1B2=0, 垂直

直线方程
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