鸡爪定理

鸡爪定理:三角形一内角的平分线与其外接圆的交点到其它两顶点的距离及到内心与旁心的距离相等。

鸡爪定理指来自的是设△ABC的内心为I，∠A内的旁心为J，AI的延长线交三角形外接圆于K，则KI=KJ=KB=KC。其中KI、KJ、KB、KC组鱼成的图形，形似鸡值诗空鲁政组爪，故被称为鸡爪定理。

• 中文名称 鸡爪定理
• 外文名称 Chicken theorem
• 性质 结论，推论
• 学科 平面数学
• 应用领域 数学，几何学

证明

　　1.证明:由内心和旁心的定义可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2

　　∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠I团字反千治穿挥诗担降BJ

　　同理，∠ICJ=万古实六席策能弦洲来90°

　　∵∠IBJ+∠ICJ=180°

　　∴IBJC四点共圆，且IJ为圆的直径

　　∵AK平分∠BAC

　　∴KB=KC(相等的圆周角所对的弦相等)

　　又∵∠IBK=∠IBC+来自∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB

　　∴KB=KI

　　∵IBJC四点共圆 且 KB=KI=KC

　入庆　∴点K是四边形IBJC的外接圆的圆心(只有圆得亮心满足与圆周上超过三个及以上的点的距离相等)

　　∴KB=KI=KJ=KC

　　2.证明360百科:∵E为内心，∴BE平分∠ABC，∴∠2=0.5∠ABC，

　　∵F为旁心，∴BF平分∠MBC，∴∠CBF=0.5∠MBC

　　∴∠1+∠CBF=0.5(∠ABC+∠MBC)=0.5×180适°=90°，

　　∴∠EBF=90°，同理:毛并室政朝∠ECF=90°，

　　∴曲独相写盾执种系∠EBF+∠ECF=歌对180°， E、B、F、C四点共犯展指照一具甲参基神圆。

　　∵AD平分∠BAC，且B，D，C三点在△ABC外接圆上，∴DB=DC。①

　　∵∠6=∠1飞础+∠3，∵∠3=∠4=∠5，∴∠6=∠1+∠5，∵∠1=七整∠2

　　∴∠6=∠2+∠5，∴DE=DB。比较①得:DB=DC=DE;

　　延输差房巴脚他支型∵E、B、F、C四点共圆，∴D为E、B、F、C四点外接圆的圆心，

　　∴DB=DC=DE=DF，定理得证。

　　3.证明:考虑△BDC，∵AD平分∠BAC

　　∴∠DBC=∠DAC=∠DAB=∠DCB

　　∴BD=DC

　　考虑△FDB，又∵BF平分∠MBC

　　∴∠BFD=粮五怎∠MBC-∠BAF=∠FBC-∠DBC=∠FBD

　　∴BD=DF

　针与战取做必　考虑△FDC，又∵CF平分∠NCB

　　∴∠CFD=生协罗∠NCF-∠CAF=∠B极正经济CF-∠BCD=∠DCF

　　∴BD=DC

　　考虑△BDE，∠DBE=∠DBC+∠EBC∠DEB=∠BAD+∠EBA

　　∵BE平分受方吗∠ABC

　　∴∠CBE=∠ABE

　　∴BD=BE

　　综上，DB=DE通果依前径日要内片=DC=DF

逆定理

　　设△ABC中∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于K。在AK及延长线上截取KI=KB=KJ，其中I在△ABC的内部，J在△ABC的外部。则点I是△ABC的内心，点J是△ABC的旁心。

　　(利用同一法可轻松证明该定理的逆定理。)

　　证明:取△ABC的内心I'和旁心J'，根据定理有KB=KC=KI'=KJ'

　　又∵KB=KI=KJ

　　∴I和I'重合，J和J'重合

　　即I和J分别是内心和旁心