鸡兔同笼

鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，记载于《孙来自子算经》之中。

• 中文名称 鸡兔同笼
• 外文名称 Chicken with rabbit cage
• 类别 算术题 数学应用题
• 领域 数学

历史

　　鸡兔同笼是中国古代来自的数学名题之一。 大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的:

　　今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?

　　这四句话的意思是:

　　有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个验丰种混缩探头，从下面数，有94只脚。问笼中各有多少只鸡和兔?

　　下面是较为简单的计算360百科方式:

　　(总脚数-总头数×鸡的脚数)÷眼爱对民文万算(兔的脚数-鸡的真失别是供背丰进祖脚数)=兔的只数

　　(94-35×2)÷2=12(兔子数) 总头数(35)-兔子数(12)=鸡数(23)

　　解释:让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样随鸡她志走质笼子里的脚就减少了总头数×2只，由于鸡只有2只脚，所以笼子里只剩下兔子的东案封她考两只脚，再÷2就是兔子数。

方法

假设法

• 假设全是鸡:2 × 35 = 70 (条)鸡脚比总脚数少:94 - 70 = 24 货信修也至尼升术作通轻(只)兔子比鸡多培察致左阿曲程的脚数:4 - 2 = 2(只)兔子的只数:24 ÷ 2 = 12 (只)鸡的只数:35 - 12 = 23(只)
• 假设全是兔子:材范卫4 × 35 = 140(只)兔子脚比总数多:140 - 94 = 46(只)兔子比鸡多的脚数:4 - 2 = 2(只)鸡的只数:46 ÷ 2 = 23(只)兔子的只数:35 - 2假镇点倒落氧黄饭染款款3 = 12(只)

方程法

　　一元一次方程

　　(一)解:设兔有x只，则鸡有(35-x)只。

　　解得

　　则鸡有:35 - 12 = 23 只

　　(二)解:设鸡有x只，则兔有(35-x)只。

　　解得

　　则兔有:35 - 23 = 12(只)

　　答:兔子有12只，鸡有23只。

　　(注:在设方程的未知数时，通常选择腿多的动物，这将会使计算较简便)

　　二元一次方程组

　　解:设鸡有x只，兔有y只。

　　解得

　　答:兔娘到将伯沿费远子有12只，鸡有23只。

抬腿法

　　方法一

　　假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94÷2=47(只)脚。笼子里的兔就比鸡的脚数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。

　　方法二

　　假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94-35×2=24只脚 ， 这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷2=12只兔子，就九集执言茶有35-12=23只鸡。

　　方法三

　　我们可以先让兔子都抬起2只脚，那么就有35×2=70只脚，脚数和原来差94-70=24只脚，这些都是每只兔子抬起2只脚，一共抬起24只脚，用24÷2得到兔子有1指火流罗高变扩石脸很2只，用35-12得到鸡区亚比团为学有23只。

列表法

公式

　　公式1:

　　(兔的脚数 × 总只数 引何愿氧火德然状随乙复- 总脚数)÷(兔的脚数 - 鸡断营补坚需上加告的脚数)= 鸡的只数

　　总只数 激极解探企- 鸡的只数 = 兔的只数

　　公式2:

　　(总脚数 - 鸡的脚数 × 总只数) ÷ (兔的脚数 - 配杨脸鸡的脚数)= 兔的只数

　　总只数 - 兔的只数 = 鸡的只数

　　公式3:

　　总脚数 ÷ 2 - 总头数 = 兔的只数

　　总只数 -兔的只数 = 鸡的只数

　　公式4:

　　兔总只数 = (鸡兔总脚数 - 2 × 鸡兔总只数) ÷ 2

　　鸡的只数 = 鸡兔总只数 - 兔总只数

　　公式5:

　　鸡的只数 = (4 × 鸡兔总只数 - 鸡兔总脚数) ÷ 2

　　兔的只数 = 鸡兔总只数-鸡的只数

　　公式6:4× + 2(总数x)=总脚数 (x = 兔，总数 - x = 鸡数，用于方程)

解题思路

理解

　　中国古代《孙子算经》共三卷，成书大约在公元5世纪。这本书浅显易懂，有许多有趣的算术题，比如"鸡兔同笼"问题:

　　今有雉兔同笼，上有来自三十五头，下有九360百科十四足，问雉兔各几何?

　　题目中给出雉兔共有九值紧车李济风水护余35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一棉课命角介品值只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子苗矿省衡界都先当作两只脚的 鸡。鸡兔总的脚数是35×2=70(只)，比题中所说的94只要少94-70=24(只)。

　　松开一只兔子脚上的绳子，总的跟善势承真战作止英脚数就会增加2只，即70+2=72(只吃民备发含题)，再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，2，2……，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数:24÷2=12(只)，从而鸡有35-12=23(只)。

　　我们来总结一表静配息货普的扬下这道题的解题思路:如果女争石发亚先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，课烟至城事章就可以算出共有多少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是:兔数=(实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数)÷(每部尼府酸只兔子脚数-每只鸡脚数)。类似地，也可以假设全是兔子。

思路

　　"鸡兔同笼"是一类有名的中国古算题。最早出现于《孙子算经》中。许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--"假设法"来求解。因此很有必要学会它的解法和思路。

　　例1有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只

　　解:我们设想，每只鸡都是"金鸡独立"，一只脚站着;而延可紧核厚问空话办每只兔子都用两条后腿，像人一样质清李序使战县用两只脚站着，地面上出现脚的总数的一半，·也就是

　　244÷2=122(只)

　　在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。因此从12起2减去总头数88，剩下的就是兔子头数

　　122-88=34(只化工识怎火军帮裂施赶社)，

　　有34只兔子，当然鸡就有54只。

　　答:有兔子34只刘把迫理落州绝准,鸡54只。

　　上面的计无亮刘班慢流器使室算，可以归结为下面算式:

　构刚坚　总脚数÷2-总头数=兔子数. 总头数-兔子数=知识哥万含苏鸡数

　　上面的解法是《孙子算经》中记载的。做一龙吃传屋她用化预助次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单!能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，"脚数"就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通。因此，我们对这类问题给出一种一般解法.

　　如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了

　　88×4-244=108(只)

　　每只鸡比兔子少(4-2)只脚，所以共有鸡

　　(88×4-244)÷(4-2)= 54(只).

　　说明我们设想的88只"兔子"中，有54只不是兔子。而是鸡.因此可以列出公式

　　鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数).

　　当然，我们也可以设想88只都是"鸡"，那么共有脚2×88=176(只)，比244只脚少了

　　244-176=68(只).

　　每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚，

　　68÷2=34(只).

　　说明设想中的"鸡",有34只是兔子，也可以列出公式

　　兔数=(总脚数-鸡脚数×总头数)÷(兔脚数-鸡脚数).

　　上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数。

　　假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，称为"假设法".

例题

　　例2红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元。问红，蓝铅笔各买几支?

　　解:以"分"作为钱的单位.我们设想，一种"鸡"有11只脚，一种"兔子"有19只脚，它们共有16个头，280只脚。

　　已经把买铅笔问题，转化成"鸡兔同笼"问题了.利用上面算兔数公式，就有

　　蓝笔数=(19×16-280)÷(19-11)

　　=24÷8

　　=3(支).

　　红笔数=16-3=13(支).

　　答:买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。

　　对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的"脚数"19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是"兔子",8只是"鸡",根据这一设想，脚数是

　　8×(11+19)=240(支)

　　比280少40.

　　40÷(19-11)=5(支)

　　就知道设想中的8只"鸡"应少5只，也就是"鸡"(蓝铅笔)数是3.

　　30×8比19×16或11×16要容易计算些。利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.

　　实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。例如，设想16只中，"兔数"为10,"鸡数"为6，就有脚数

　　19×10+11×6=256.

　　比280少24.

　　24÷(19-11)=3,

　　就知道设想6只"鸡",要少3只

　　例3一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时. 甲打字用了多少小时?

　　解:我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数)，甲每小时打30÷6=5(份)，乙每小时打30÷10=3(份).

　　把甲打字的时间看成"兔"头数，乙打字的时间看成"鸡"头数，总头数是7."兔"的脚数是5,"鸡"的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成"鸡兔同笼"问题了.

　　根据前面的公式

　　"兔"数=(30-3×7)÷(5-3)

　　=4.5,

　　"鸡"数=7-4.5

　　=2.5

　　也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时。

　　答:甲打字用了4小时30分.

　　例41998年时，父母年龄(整数)和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后(2002年)父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年?

　　解:4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86。我们可以把兄的年龄看作"鸡"头数，弟的年龄看作"兔"头数。25是"总头数"，86是"总脚数"。根据公式，兄的年龄是

　　(25×4-86)÷(4-3)=14(岁).

　　1998年，兄年龄是

　　14-4=10(岁).

　　父年龄是

　　(25-14)×4+4=40(岁).

　　因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是

　　(40-10)÷(3-1)=15(岁).

　　这是2003年。

　　答:公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.

　　例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只?

　　解:因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成"8条腿"与"6条腿"两种。利用公式就可以算出8条腿的

　　蜘蛛数=(118-6×18)÷(8-6)

　　=5(只).

　　因此就知道6条腿的小虫共

　　18-5=13(只).

　　也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。再利用一次公式

　　蝉数=(13×2-20)÷(2-1)=6(只).

　　因此蜻蜓数是13-6=7(只).

　　答:有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。

　　例6某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人?

　　解:对2道，3道，4道题的人共有

　　52-7-6=39(人).

　　他们共做对

　　181-1×7-5×6=144(道).

　　由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人((2+3)÷2=2.5).这样

　　兔脚数=4，鸡脚数=2.5,

　　总脚数=144，总头数=39.

　　对4道题的有

　　(144-2.5×39)÷(4-2.5)=31(人).

　　答:做对4道题的有31人。

　　以例1为例 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只?

　　以简单的X方程计算的话，我们一般用设大数为X，那么也就是设兔为X，那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数，即(88-X)只。

　　解:设兔为X只。则鸡为(88-X)只。

　　4X+2×(88-X)=244

　　上列的方程解释为:兔子的脚数加上鸡的脚数，就是共有的脚数。4X就是兔子的脚数，2×(88-X)就是鸡的脚数。

　　4X+2×88-2X=244

　　2X+176=244

　　2X+176-176=244-176

　　2X=68

　　2X÷2=68÷2

　　X=34

　　即兔子为34只，总数是88只，则鸡:88-34=54只。

　　答:兔子有34只，鸡有54只。