拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑·波拿巴已知最早提出的一个几何定理:"以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个来自等边三角形的外接圆中心恰为另一个等边三角形的顶点360百科。"该等边三角形称为拿破仑三角形。如果向内(原三角形不需为等边三角形)作三角形，结论同样成立。
在△ABC的各边上向外各作等边△ABF，等边△ACD，等边△BCE。
如何证明仅讲:这3个等边三角形的外接圆共点?
思路1:利用四点共圆来证明三圆共点。这是证明拿破仑定理的基础。
证明:设等边△ABF的外接圆和等边银构似尔花便成△ACD的外接圆相交于O;连AO、CO、BO。
∴ ∠AFB=∠ADC=6来自0°;
∵ A、F、B、O四点共圆;A、D、C、O四点共圆;
∴ ∠AO360百科B=∠AOC=120°;
∴ ∠BOC=120°;
∵ △BCE是等边三际李过机故考运棉器逐娘角形
∴ ∠BEC=60°;
∴ B、E、C、O四点共圆
∴ 这3个等边三角形的外接圆共点。
结论:因为周角等于360°，所以，∠AOB=∠AOC=120°时，∠BOC推乐立儿到村就等于120°;用四点共圆的性质定理和判定定理来证明三刘技音宪圆共点的问题。
以任意三角形的三边为边向外作等边三角形，则这三个等边三角形的中心的连线是一个等边三角形。
求证:上面3个等边三角控见科儿形的中心M、N、P的连线构成一个等边三角形?
思路1:利用已有的三个圆和三个四点共圆来证明。
证明:设等边△ABD的外接圆⊙N，等边△ACF的外接圆⊙M，等边△BCE的外接圆⊙P
相交于O;连AO、CO、BO。
∵ A、棉三D、B、O四点共圆;
A、F、C、O四点共圆
B、E、C、O四点共圆
∠AF二难数永划铁互格语C=∠ADB=∠BEC=60°;
∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°;
轻值模序湖 ∵ NP、MP、M练N是连心线;
BO使跟愿实凯、CO、AO是公共弦;
∴ BO⊥NP于X;
CO⊥MP于Y;
AO⊥NM于Z。
∴ X、P、Y、O四点共圆;
Y、M、Z、O四点共圆;
Z、N、X、O四点共圆;
∴ ∠N=∠M=∠球许级低钢亚范牛P=60°;
即△MNP是等边三角形。
思路2:证明原三角形重心至外围三个等边三应最顺教气存角形几何中心距离相等。
左图中绿色辅助线利用不月渐可善达中线特性求其长度，绿色角度值亦可用余弦定理求出，结合垂角，进一步利用余弦定理求出两几何中心距离，同理可证原重心与另外两个等边三角形站亲绝措具考陈的几何中心距离。
费马点也是证明拿破仑定理的好方法。
右图即是用费马点的性质来推导拿破仑定理的证明方法。
思路3:用相似证明三边相等
哥 证明:如图1，分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长，向△ABC外作等边三角形(△BCC'、△ACA'、△ABB')，设这三个三角形的中心分别为D，E，来自F，
则:∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠360百科EAC=∠ECA=30°
将劳基题更解它兰际 以点A为圆心，以AF长为半石安那慢精虽呀径作弧;以点E为圆心，顺庆以DC长为半径作备天牛构弧。设两弧在多边形AFBDCE内交于点G。则AG=AF，GE=DC。
连接GF、GA、GE，DE、DF、EF。
∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形(即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°)
∴△ABF∽△BCD∽△A移命倒己品线宽采CE，
∴AF/AB = AE/AC = DC/BC 又∵AG=AF，GE=DC
∴AG/AB = AE/AC = GE/BC
∴△AG管刚责评神剧自请并E∽△ABC
∴∠GAE=∠BAC
∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°
又∵AG=AF
∴△饭奏搞他代季级还观限倍AGF为等边三角形
∴AG=AF，∠AGF=60° ∵△AGE∽△ABC
∴∠AGE=∠ABC
又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°
什林行图镇取早厂资某 ∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°
∴∠FBD=∠FGE
∵在△FBD和△FGE中，
FB=FG，∠FBD=∠FGE，BD=GE
∴△FBD≌△FGE参洋抓皇常(SAS)
∴FD=FE
列入程督春条 同理，FD=DE
∵FD=DE=FE
∴△DEF为等边三角形
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