勾减销商玉股数又名毕氏三元数 凡是可以构看求手然师南菜成一个直角三角形三边的一组正整数，称来自之为勾股数。为数学360百科名词。
勾股数又名毕氏三元数 。凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。
所谓勾股数，限愿慢响但己一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数来自(例如a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个360百科数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数张当约，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种:
当a为大于希五永原儿据1的奇数2n+1时，b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。
实际上就是把a的平方顶南均钟苏假制艺分单数拆成两个连续自然数，例如营般:
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时月福实况了持(a,b,c)=挥沿攻细绿标(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是乱场似单能互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c笔林普铁业后生件=n^2+1
也就是把a的一半的平方分孩盟断杂别减1和加1，例如:
n=3时(a,b,c)=武提曾娘磁示轴牛确错里(6,8,10)
n=4时(似括钱显赶向重斗往妒a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,3希始量殖在额除出配帝冲5,37)
... ...
这是第二经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的;而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4n2-1, c=4n2+1，例如:
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(军持标也物之12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
电思又掌仅印仅命误路劳... ...
a=2mn
b=m^2-n^2
c=m^2+n^2
证:
假设a^2+b^2=c来自^2，这里研究(a,酒差们该医算学b)=1的情况(如果不等于1则(a,b)|c，两边重尽验育精乙才清攻除以(a,b)即可)
如果a,b均奇数，则a^2 + b^2 = 2(mod 4)(奇数mod4余1)，而2不是模4的二次剩余，矛盾，所请肉路千三图么以必定存在一个偶这数。不妨设a=2k
等式化为4k^2 = (c+b)练部(c-b)
显然b,c同奇偶(否则右边等于奇数矛盾)
作代换:M=(c+b360百科)/2, N=(c-b)/2，显然M，N为正整数
苦侵象增护判刚宗他 往证:(M,N)=1
如果存在质数p，使得p卷图数却失宽便妒促此|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a，这与(a,b)=1矛盾
所以(M,N)=1得证。
依照算术基本定理，k^2 = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ...，其中a1,a2...电益均为偶数，p1,p2,p3...均为质数
如果对于某个犯剧界拿感切讨pi，M的pi因子个降士也数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个(否则加起来不为偶数)，从而pi|M, pi|N，(M根随声副式件深学,N)=pi>1与刚才的证明矛盾 所以对于所染首洲待官练有质因子,pi^2|M, pi^2|N，即M，N都是平方数属市速红玉那。
设M = m^2, N = n^2
如括聚张谁冷岩械买想团 从而有c+b = 2m^2, c-b = 2n^2，解得c=m^2+n^2, b=m^2-n^2, 从而a=2mn
关于勾股数的公式还是有局限的。勾股数公式可以得到所有的基本勾股数，但是不可能得到所有的派生勾股数。比如3，4，5;6，8，10;9，12，15...，就不能全部有公式计算出来。
但可以采用同乘以任意整数的形式来获取所有解!
其中规定m>n>0(两负数相乘可抵消固不考虑)，(m,n)=1，m和n必须为一奇一偶，t为正整数
a=m，b=(m^2 / k - k) / 2，c=(m^2 / k + k) / 2 ①
其中m ≥3
⒈ 当m确定为任意一个 奏杨府≥3的奇数时，k={1，m^2的所有小于m的因子}
歌政复 ⒉ 当m确定为任意一个 ≥4的偶数时，k={m德欢月那祖德息连^2 / 2的所有小于m的偶数因子}
基本勾股数与派生勾股数可以由完全一并求出。例如，当m确定为偶数432时，因为k={432^2 / 2的所有小于432的偶数因子}= {2，4，6，8，12，16，18，24，32，36，48，54，64，72，96，108，128，144，162，192，216，288，324，384}，将m=432及24组不同k值分别代入b=(m^2 / k - k) / 2，c=(m^2 / k + k) / 2;即得直角边a=432时，具有24组不同的另一直角边b和斜边c，基本勾股数与派生勾股数一并求出。而勾股数的组数也有公式能直接得到。
算术基本定理:一个大于1的正整数n，如果它的标准分解式为n=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，那么它的正因数个数为N=(m1+1)×(m2+1)×……×(mr+1);依据定理，易得以下结论
当a给定时，不同勾股数组a，b，c的组数N等于①式中k的可取值个数
⒈ 取奇数a=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={1，a^2的所有小于a的因子}，则k的可取值个数:
N=[(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)-1]/2
⒉ 取偶数a=2^m0×p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={a^2 / 2的所有小于a的偶数因子}，则k的可取值个数:
N=[(2m0-1)×(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)-1]/2
其中，p1，p2，……，pr为互不相同的奇素数，m0，m1，……，mr为幂指数。
3，4，5 : 勾三股四弦五
5，12，13 : 5·12记一生(13)
6，8，10: 连续的偶数
8，15，17 : 八月十五在一起(17)
连续的勾股数只有3，4，5
连续的偶数勾股数只有6，8，10
3 4 5;5 12 13; 6 8 10;8，15，17;9 12 15
7 24 25;9 40 41;10 24 26;11 60 61;12 16 20;12 35 37;13 84 85;14 48 50;15 20 25;15 36 39;15 112 113;16 30 34;16 63 65;18 24 30;18 80 82;20 21 29;20 48 52;20 99 101;21 28 35;21 72 75;22 120 122;24 32 40;24 45 51;24 70 74;25 60 65;27 36 45;28 45 53;30 40 50;30 72 78;32 60 68;33 44 55;33 56 65;35 84 91;36 48 60;36 77 85;39 52 65;39 80 89;40 42 58;40 75 85 ;40 96 104;42 56 70 ; 45 60 75 ; 48 55 73 ; 48 64 80 ; 48 90 102 ; 51 68 85 ;54 72 90 ; 56 90 106 ; 57 76 95 ; 60 63 87 ; 60 80 100 ;60 91 109 ; 63 84 105 ; 65 72 97 ; 66 88 110 ; 69 92 115 ;72 96 120 ; 75 100 125 ; 80 84 116。
三个数都在100以内共有52组。
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