魔方阵，是古张即云车单在乐无代又称"纵横图"，是指组成元素为自然数1、2…n的平次斤望古富春诉计方的n×n的方阵，其中得紧触球正投翻从每个元素值都不相等，且每行、每列以及主、副对角线上各n个元素之和都相等。
⒈何谓矩阵?矩阵就是由方程组的系数及常数所构成的方阵。是把用在解线性方程组上既方便，又直观。
⒉何谓n阶方阵?若一个矩阵是由n个横列与n个纵行所构成，共有n*n个小方格，则称这个方阵是一个n阶方阵。
⒊何谓魔方阵? 4 9 2 3 5 7 8 1 6定义:由n*n个数字所组成的n阶方阵，具有各对角线，各横列与纵行的数字和都相等的性质，称为魔方阵。未感实能阶互而这个相等的和称为魔术数字。气括统物绍整深运造鸡命若填入的数字是从1到n*n，称此种魔方阵为n阶正规魔方阵。
⒋最早的魔方阵相传古时为了帮助治水专家大禹统治天下，终识同由水中浮出两只庞大动物背护官胶马率哪粮宣半说上各负有一图，只有大禹才可指挥其中之由龙马普将汽负出的为河图，出自黄河;另一由理龟负出的洛书出自洛河。洛书
⒌最早的四阶魔方阵相传是刻在印度一所庙宇石上，年代大约是十一世纪。古代印度人十分崇拜这种幻方，至今从古神殿的遗址，墓碑上句叶八冷者格干须项常常还可以发现四阶幻方的遗迹。
⒍欧洲最早的魔方阵是公元1514年德国画家Albrecht Dure在他著名的铜板画Mel来自encolia上的4×4幻方，有趣的是，他连创造年代(1514)也镶在这个方阵中，而且上下左右，四个小方阵的和皆为34，是欧洲最古老的幻方。
偶数阶魔方阵:
(1)n = 4k(4的整数倍时)
(1) 先将整个方阵划分成k*k个4阶方阵，然后在每个4阶方阵的对角线上第考货破含岩尔节做记号
(2) 由左而右、由上而下，遇到创味类附销也之冲仅没有记号的位置才填数字，但不管是否填入数字，每移动一格数字都要加1
(3) 自右下角开始，由右而左、由下而上，遇到没有数字的位置就般停聚护延个齐胡源药执填入数字，但每移动一格数字都要加1
(2)n = 4k + 2
本法填制魔方阵时，先将整个方阵划成田字型的四个2 k + 1阶的奇数阶小方阵，并以下法做注记:
1,右半两360百科个小方阵中大于k+2的列。
2，左半两个小方阵中( k + 1 , k + 1 )的格位。
3，左半两个小方阵中除了( 1 , k + 1 )是指第一列第k+1行的格位之外，小于k +1的列。
以奇数阶魔方阵的方法连续长觉若填制法依左上、右下、右上、左下的顺序分别填制这四个小方阵。
将上半及下半方阵中有注记策新言约的数字对调，魔方阵完成汉计均料界觉。
如3×3工的魔方阵 :
8 1 6
3 5 7
4 9 2
魔方阵的排列规律如下:
⑴将1放在第一行中间一列;
⑵从2开你究跟少林始直到n×n止各数依次按下列规则存放;每一空肥管经龙洋个数存放的行比前一个数的行数减管率送1，列数加1(例如上面的三阶魔方阵，5在4的上一行后一列);
⑶如果上一个数的行数为1，则下一个数的行数为n(指最下一行);例如1在第一行，则2应放在最下一行，列数同样加1;
⑷当上一个数的列数为n时，下一个数的列数应为1，行数减去1。例如2在第3行最后一列，则3应放在第二行第一列;
⑸如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第一行第n列时，则把下一个数放在上一个数的下面。例如按上面的规定，4应该放在第1行第2列，但该位置已经被占据，所以4就放在3的下面;
⒈相异魔方阵对应方格所填的数字不相同的两个魔方阵，如下图
1实6 02 03 13 01 1服烈言即皇复精可5 04 14 05 11 10 08 12 06 09 07 09 最心何台降告阳每07 06 12 13 03 16 02 04 14 15 01 08 10 05 11
⒉相等魔方阵每一个对应方格所填的数字都相同的两个魔方阵，如下图4 9 2 4 9 2 3 跑故云货蛋更盾强5 7 3 5 7 8 1 6 8 1 6
⒊全等魔方阵若一个魔方阵能够经过旋转或镜射的方式变成和另一个魔方阵相等，称这两个魔方阵全等。在计算魔方阵个数时倒核，我们把全等的魔方阵视为同一种。2 7 6 8 3 4 9 5 1 1 5 9 4 3 8 6 7 2
4，刚性变形法⑴顺时针方向旋转90 ⑵顺时针方向旋转180 ⑶顺时针方击套握景万操向旋转270 ⑷左右翻转(绕铅直对自称轴镜射) ⑸上下翻转(绕水平对称轴镜射) ⑹左上右下翻转(绕右上至左发病住下对角线镜射) ⑺右上左下翻转(绕左上至右下对角线镜射)
原来自始方阵旋转90。旋转180术设而市耐罪志探密呀。旋转270。01 03 16 14 360百科12 08 13 01 07 05 10 12 14 04 09 07 13 15 02 04 10 06 1重准强血5 03 09 11 06 08 16 02 11 05 08 06 11 09 05 11 02 16 04 02 15 13 03 15 06 10 12 10 05 07 07 09 0编色报双顾硫4 14 14 16 03 01 0样血感江划式派查急力1 13 08 12
左右翻转上下翻转左上右下翻转右上左下翻转14 16 03 01 12 10 05 07 07 09 04 14 01 13 08 12 04 02 统座们进些盟介此15 13 08 06 11 09 05 11 02 16 03 15 06 10 0判志少久皮车9 11 06 08 13 15 02 04 10 06 15 03 16 02 11 05 07 05 10 12 01 03 16 14 12 08 13 01 14 04 09 07 5.加值变形法正规魔方阵:首项是1，公差是1丝措难鲜答答兰花令煤足加值变形后的魔方阵:首项是a评边球获买江程伤钱，公差是r
原始魔方首项为5公差为1首项为5公差为2 14 16 03 01 18 20 07 05 31 35 09 05 04 02 1历胞出湖的她活系沿些头5 13 08 06 19 17 11 07 33 29 09 领溶指冲快求宣苦望表景11 06 08 13 15 10 12 21 25 15 19 07 05 10 12 11 09 14 16 17 13 23 27
⒍互补变形法就是将魔方阵中的每一个数字都替换成互补数的变形方式。在n阶魔方阵中，数字k的互补数=(1+n*n)–k
原始魔方阵互补变形魔方阵14 16 03 01 03 01 14 16 04 02 15 13 13 15 02 04 09 11 06 08 08 06 11 09 07 05 10 12 10 12 07 05
⒎田字变形法以中心点为准将魔方阵分成四个相等的小方阵。当n为奇数时，中央的行列要独立出来。
n是偶数时n是奇数时ABA A1 BDC? D1 E B1 D C1 C将魔方阵如下重组: CD C C1 D? BA B1 E D1 B A1 A
可参考下面的范例:原始4阶魔方阵4阶田字变形魔方阵原始5阶魔方阵5阶田字变形魔方阵01 03 16 14 11 09 08 06 18 22 01 10 14 13 17 09 21 05 13 15 02 04 05 07 12 10 04 08 12 16 25 24 03 20 07 11 08 06 11 09 16 14 01 03 15 19 23 02 06 02 06 23 15 19 12 10 05 07 02 04 13 15 21 05 09 13 17 10 14 01 18 22 07 11 20 24 03 16 25 12 04 08 8.井字对换变形法⑴任选一数k，1<=k<=n。⑵将方阵的第k行和其互补行(第n+1-k行)对换。⑶将方阵的第k列和其互补列(第n+1-k列)对换。⑷为方便称呼，此时姑且命名为k值井字对换变形。
原始魔方阵1值井字对换魔方阵2值井字对换魔方阵1,2值井字对换魔方阵01 03 16 14 07 10 05 12 01 16 03 14 07 05 10 12 13 15 02 04 04 15 02 13 08 11 06 09 09 11 06 08 08 06 11 09 09 06 11 08 13 02 15 04 04 02 15 13 12 10 05 07 14 03 16 01 12 05 10 07 14 16 03 01 9.拓朴变形法⑴任选不相等的两数1<=k1,k2<=n，但当(n+1)/2为奇数时，k1及k2不能等于(n+1)/2。⑵将坐标含k1值的全改成k2。含k2值的全改成k1。含n+1-k1值的全改成n+1-k2。含n+1-k2值的全改成n+1-k1。⑶为方便称呼，此时姑且命名为k1,k2拓朴变形。
可参考下面的3阶1，3拓朴变形示意图(1,1) (1,2) (1,3) (3,3) (3,2) (3,1) (2,1) (2,2) (2,3) (2,3) (2,2) (2,1) (3,1) (3,2) (3,3) (1,3) (1,2) (1,1)
可参考下面的范例原始魔方阵1,2拓朴变形魔方阵18 22 01 10 14 08 04 12 25 16 04 08 12 16 25 22 18 01 14 10 15 19 23 02 06 19 15 23 06 02 21 05 09 13 17 11 07 20 03 24 07 11 20 24 03 05 21 09 17 13注:其实对换变形、田字变形可包含于拓朴变形中，只因想法不同故列出参考
⒈杨辉法发明者:杨辉适用:三阶魔方阵方法:九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进
***1*** **4*2** 4 9 2 *7*5*3* 3 5 7 **8*6** 8 1 6 ***9***
杨辉法推广-菱形法发明者:Bachet de Meziriac适用:奇数阶魔方阵方法:数字斜排，上下对易，左右相更，四维挺进
********01******** ******06**02****** ****11**07**03*** * 11 24 07 20 03 **16**12**08**04** 04 12 25 08 16 21**17**13**09**05 17 05 13 21 09 **22**18* *14**10** 10 18 01 14 22 ****23**19**15**** 23 06 19 02 15 ******24**20****** * *******25********
⒉简捷连续填制法发明者:De La Loubere适用:奇数阶魔方阵方法:1立首列中，右一上一，受阻下一
* * 1 * * * * 1 * * * * 1 * * * * 1 * * * * 1 8 * 17 24 1 8 15 * * * * * * * * * * * 5 * * * * 5 * * * * 5 7 * * 23 5 7 14 16 * * * * * * * * * * 4 * * * * 4 6 * * * 4 6 * * * 4 6 13 20 22 * * * * * * * * * * * * * * 3 * * * * 3 10 * * * 3 10 12 19 21 3 * * * * * * * * 2 * * * * 2 * * * * 2 * 11 * * 2 9 11 18 25 2 9简捷连续填制法推广适用:奇数阶魔方阵方法:⑴1立首列中，右1上1，受阻下1; ⑵1立中央上，右1下2，受阻上2; ⑶1立首行中，右2下1，受阻右1; ⑷1立首列中，右1下2，受阻下4; ⑸1立中央上，右1上1，受阻上2 ; ⑹1立首行中，左1上1，受阻右1。
⒊辅助方阵法适用:五阶以上奇数阶魔方阵方法:⑴制作辅助方阵一:在左上端填入1，按照走马的方式往右二下一的方向填入1至底，接着在每列的1的右边依序填入2、3、4…n 1 * * * * 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 * * 1 * * * * 1 * * 4 5 1 2 3 * * * * 1 * * * * 1 2 3 4 5 1 * 1 * * * * 1 * * * 5 1 2 3 4 * * * 1 * * * * 1 * 3 4 5 1 2 ⑵制作辅助方阵二:在左上端填入0，按照走马的方式往右一下二的方向填入0至底，接着在每列的0的下面依序填入n、2n、3n…n(n-1) 0 * * * * 0 15 5 20 10 1 17 8 24 15 * * * 0 * 5 20 10 0 15 9 25 11 2 18 * 0 * * * 10 0 15 5 20 12 3 19 10 21 * * * * 0 15 5 20 10 0 20 6 22 13 4 * * 0 * * 20 10 0 15 5 23 14 5 16 7 ⑶将辅助方阵一与二的对应方格内之数相加填到一个新的方阵对应方格内，则新的方阵即为一个魔方阵。
⒋扩阶法适用:n阶魔方阵，n为大于5的正整数方法:⑴先建构出一个n-2阶的魔方阵⑵将⑴所建立的魔方阵每个数字再加上2n-2 ⑶将步骤⑵的魔方阵外面再加上一圈，这一圈有4n-4个空格，填入的数为1~(2n-2)和(-2n+3)~n*n，先算出魔术数字会比较好填。
8 1 6 16 09 14 23 01 02 20 19 3 5 7 11 13 15 22 16 09 14 04 4 9 2 12 17 10 05 11 13 15 21 08 12 17 10 18 07 25 24 06 03 5.方阵合成法适用:当魔方阵的阶数n可分解成两个大于2之整数p、q的乘积方法:假设A=[(a)ij]与B=[(b)ij]分别代表m阶与n阶魔方阵，对每个t=1，2…m*m，令At=[(a)ij+m*m(t–1)]。接着我们将方阵B中的数t以m阶魔方阵(A)t代替，就可以得到一个m. n阶魔方阵。
可参考下面的范例魔方阵A魔方阵B 35 28 33 26 19 24 71 64 69 8 1 6 4 3 8 30 32 34 21 23 25 66 68 70 3 5 7 9 5 1 31 36 29 22 27 20 67 72 65 4 9 2 2 7 6 80 73 78 44 37 42 08 01 06 75 77 79 39 41 43 03 05 07 A4 A3 A8 76 81 74 40 45 38 04 09 02 A9 A5 A1 17 10 15 62 55 60 53 46 51 A2 A7 A6 12 14 16 57 59 61 48 50 52 13 18 11 58 63 56 49 54 47
1、杨辉法发明者:杨辉适用:4阶魔方阵方法:以十六子，依次递作四行排列，先以外四子对换，一换十六、四换十三，以四内角对换，六换十一、七换十，横直上下斜角，皆三十四数，对换止可施之于小。
01 02 03 04 16 02 03 13 16 02 03 13 05 06 07 08 05 06 07 08 05 11 10 08 09 10 11 12 09 10 11 12 09 07 06 12 13 14 15 16 04 14 15 01 04 14 15 01
杨辉法推广-消去对角线法适用:四之倍数阶魔方阵方法:⑴先将整个方阵划分成k*k个4阶方阵，然后在每个4阶方阵的对角线上做记号⑵由左而右、由上而下，遇到没有记号的位置才填数字，但不管是否填入数字，每移动一格数字都要加1 ⑶自右下角开始，由右而左、由下而上，遇到没有数字的位置就填入数字，但每移动一格数字都要加1
⒉井字法适用:四之倍数阶魔方阵方法:⑴把1~n*n从左上角依序填入方阵内⑵用两条铅直线和两条水平线将方阵分隔成四个角落各有一个n/4阶的子方阵，和中心位置有一个n/2阶的子方阵⑶以方阵中心为对称点，将五个子方阵的数字作对称交换，其它的数字不要动。这样的方阵会是一个魔方阵
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
⒊辅助方阵法适用:偶数阶魔方阵(因非四的倍数作法相当复杂，在此只介绍四的倍数的作法)方法:⑴制作辅助方阵一:第一列由左向右排列1至n，第二列由右向左排列1至n，第三列同第二列，第四列同第一列，若超过四列，重复一至四列的作法，完成辅助方阵一⑵制作辅助方阵二:将第一个辅助方阵各方格内的数字x换成n(x-1)，再做行列互换，完成辅助方阵二⑶将辅助方阵一与二的对应方格内之数相加填到一个新的方阵对应方格内，则新的方阵即为一个魔方阵01 02 03 04 00 12 12 00 01 14 15 04 04 03 02 01 04 08 08 04 08 11 10 05 04 03 02 01 08 04 04 08 12 07 06 09 01 02 03 04 12 00 00 12 13 02 03 16
补充:非4的倍数时即 n=4k+2时
先将整个方阵划成田字型的四个2 k + 1阶的奇数阶小方阵，并以下法做注记:
1,右半两个小方阵中大于k+2的列。
2，左半两个小方阵中( k + 1 , k + 1 )的格位。
3，左半两个小方阵中除了( k+1 , 1 )的格位之外，小于k +1的列。
以奇数阶魔方阵的方法连续填制法依左上、右下、右上、左下的顺序分别填制这四个小方阵。
将上半及下半方阵中有注记的数字对调，魔方阵完成。
例:k=1时构造完如下
35 1 6 26 19 24
3 32 7 21 23 25
31 9 2 22 27 20
8 28 33 17 10 15
30 5 34 12 14 16
4 36 29 13 18 11
⒋扩阶法同奇数阶之作法
⒌方阵合成法同奇数阶之作法
代码一:
#include <stdio.h>
#define N 16 //这里可以修改N的值，并且N只能为偶数
int main()
{
int a[N][N]={0},i,j,k,p,m,n;
p=1;
while(p==1)
{
printf("Enter n(1~%d): ",N-1);/*可以输入小于等于N-1的奇数*/
scanf("%d",&n);
if((n!=0)&&(n<N)&&(n%2!=0)) p=0;
}
i=n+1;
j=n/2+1; /*建立魔方阵*/
a[1][j]=1;
for(k=2;k<=n*n;k++)
{
i=i-1;
j=j+1;
if((i<1)&&(j>n))
{
i=i+2;j=j-1;
}
else
{
if(i<1) i=n;
if(j>n) j=1;
}
if(a[i][j]==0) a[i][j]=k;
else
{
i=i+2;
j=j-1;
a[i][j]=k;
}
}
for(i=1;i<=n;i++)/*输出魔方阵*/
{
for(j=1;j<=n;j++)
printf("%4d",a[i][j]);
printf("\\n");
}
}
代码二:(相对于代码一条理更清晰，更简单、更容易理解)
将1~n的平方这几个数构成一个n阶魔方阵。
算法:
依以下法则，你可以很快的写出奇数阶幻方!当然，这种写法只是其中一个答案，而不是唯一答案。
1)将1填入第一行中间;
2)将每个数填在前一个数的右上方。
3)若该位置超出最上行，则改填在最下行的对应位置;
4)若该位置超出最右列，则该填在最左列的对应行位置;
5)若某元素填在第一行最右列，下一个数填在该数同列的下一行;
6)若某数已填好，但其右上角已填了其他数据，则下一个数填在该数同列的下一行位置。
#include<stdio.h>
void main()
{
int a[15][15]={0},i,j,m,n,temp,M;
printf("请输入一个3~15的奇数:\\n");
scanf("%d",&M);
i=0;
j=M/2;
a[i][j]=1;
for(temp=2;temp<=M*M;temp++)
{
m=i;
n=j;
i--;
j++;
if(i<0)
i=M-1;
if(j>M-1)
j=0;
if(a[i][j]!=0)
{
i=m+1,j=n;
a[i][j]=temp;
continue;
}
a[i][j]=temp;
}
printf("%d×%d魔方阵:\\n",M,M);
for(i=0;i<M;i++)
{
for(j=0;j<M;j++)
printf("%4d",a[i][j]);
printf("\\n");
}
}
//(求4的倍数阶幻方)
void main()
{
int i,j,x,y,n,t,k=1;
int a[100][100];
printf("请输入魔方阵的阶数n \\n");
scanf("%d",&n);
printf("输出为:\\n");
if(n%4==0)
{
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
{
a[i][j]=k;
k++;
}
x=n-1;
for(j=0;j<n/2;j++,x--)
{
for(i=0;i<n;i++)
if(i%4!=j%4&&(i+j)%4!=3)
{
t=a[i][j];
a[i][j]=a[i][x];
a[i][x]=t;
}
}
x=n-1;
for(i=0;i<n/2;i++,x--)
{
for(j=0;j<n;j++)
if(i%4!=j%4&&(i+j)%4!=3)
{
t=a[i][j];
a[i][j]=a[x][j];
a[x][j]=t;
}
}
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
printf("%-4d",a[i][j]);
printf("\\n");
}
}
else printf("输入错误\\n");
system("pause...");
}
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