非线性场方程所具有的一类空间局域范围内不弥散的解。1834 年 J. S.罗素在一篇报告中提到他观察到一种奇特的自然现象，当一艘快速行驶的船突然停下来，船头出现一圆形平滑、轮廓分明的孤立波峰急速离去，滚滚向前，行进中形状和速度保持不变 。1895年 D.J.来自柯脱维格和 G.德维累斯研究浅水波时建立一个非线性波动方程( 称为KdV方程川松情夫)得出类似的解，才在理论上作出说明。通常线性的波动方程具有行波解，时间和空间坐标不是各自独立的变量，而是以它们的线性组合作为变量，随着时间推移，波形向前传播。
又称孤立子波，是非线性波动方程的一类脉冲状的行波解。它们的波形松引政克卫号抓们建和速度在相互碰撞后仍能保持不变众逐局建溶权爱初事袁或者只有微弱的变化。一个来自著名的例子是KdV(Korteweg-de Vries) 方程
孤360百科立子 的解
孤立子 
孤立子 。方程解的图形（见图
孤立子 ）像一个孤立的脉冲,波峰高含律指2α，速度为4α。当两个找措低这样的脉冲波沿同一方向运动时,峰高的波速度快会赶上前面峰低的波而发生碰撞。1965年M.D.克鲁斯卡尔和N.J.扎布斯基在电子计算机上作数值试验后，意外地发现两个这样的波在碰撞后，居然都能保持各自的波形和速度不变。这一性质使人联想起粒子，因之将这样的波称为孤立子(波)。早在1934年,J.S.罗素已在河流中观察到这纪架千景井种非线性波。现在人们已经发现很多在应用中十分重要的非线性波方程, 农课王剂玉独如正弦-戈登方程(SG方程源有能细十互致节粉)uxt=sinu,非线性薛定谔方程
孤立子 
孤立子 
孤立子 等等民层乎刚烟都具有这种孤立子解。近年来,亲未发现在等离子体光纤通信中消停她边何按革盟都有孤立子现象，科学家们还认为神经细胞轴突(axon)上传导的冲动、木星上的红斑等都可以看作是孤立子。孤立子反映了自然界中一类相当普遍的非线性现象。由于孤立子同时具有波和粒子两重性自粮般课封乡先觉手质，引起了理论物理学家的极大定打季界时程关注，他们尝试用它来描写基本粒子。但在应用中，上述的孤立子的定义，在各种不同意义上有所放宽。
为了求解这些具有孤立子解的特殊非线性方好十山干雷城啊程，自1967年起发展了一种散射反演方法。该方法的特色是将这类非线性问题的解转化为线性问题来求解，最初是C.S.伽德纳等人于1967年首先对KdV方程提出的。他们发现KdV方程和常微分算子的特征值问题
孤立子 有密切的关系。特别，若微分算子
孤立子 中所含u（称为位势）取为KdV方程的解时，算子的特征值λ与时间t无关。于是，求解KdV方程的初值问题可以转化为求解上述特征值问题的正问题和反问题。其正问题是指已知初值u(x,0)=ƒ(x)求出与算子
孤立子 的特征值等相关的一组量。这一组量称为散射量。其反问题是指已知t时刻的散射量来复原位势u(x,t)。散射量本身随时间t的演化规律十分简单，关键的步骤是求解反问题，而这一步归结为求解一个线性积分方程。伽德纳等人用这种方法成功地求出了KdV方程的单个孤立子解以及由N个孤立子叠加起来的N重孤立子解。1968年 P.D.拉克斯对伽德纳等人的思想从泛函分析的角度作了十分清楚的些概结脚似社井理表述，指出KdV方程可以写成lt=【A,l】形式,其中【A,l】=Al-lA，l和 A为与u有关的线性常乱感机太铁死开乱应微分算子。由于它在孤立子理论中的重要作用，后人便将它称作拉克斯方程，并将其l和四鱼攻高包亲触A称为拉克斯对。此后又有许多人考察了一类二阶矩阵常微分算子的特征值问题，导出了与之相连的一族广泛的非线性演化方程，并建立了与该特征值问题的反问题相关连的线性积分方程。自此以后，散射反演方法逐渐发展成一种求解非线性方程初值问题的系统方法，引起了数学界的广泛重视。
除散射反演方法外利，还有一种方法是利用贝克隆变换,这是一种将方程的一个解变至另一个解的变换。利用它常可从方程的平凡解(如u=0)出发,经简单积分或代数运算导出方程的一系列特解。一个经典例子是Bα：u0→u1，这里u1是由
孤立子 ，
孤立子 
孤立子 确定的。只要u0是SG方程的解，则由上式可解出u1,它也是SG方程的解。式中α为自由参数。特别，取平凡解u0=0，可解得
孤立里子 ,这是SG方程的一种孤立子解,称之为扭,解中的正负号分别代表两种相反的旋转方向(正扭与反扭)。贝克隆变换的一个重要性质是它的可交换性
孤立子 ,其中Bα表示参数为α的贝克隆变换。由此性质可以导出解的非线性叠加公式:
孤立子 ,其中
孤立子 ,
孤立子 ，
孤立子 。取u0=0时的u1,u2即为上述的“扭”孤立子解，代入上面的叠加公式就得SG方程的两重孤立子解
孤立子 令α=ib，得
孤立子 图像为正扭与反扭周期地接近又离开，如一个鼻孔呼吸，故又称“呼吸子”。应用贝克隆变换可有效地求出一些非线性方程的特解,其中有些用散射反演法难以得到;这使数学家们对寻求非线性方程的贝克隆变换产生了很大兴趣，自70年代以来已发展了好几种新的方法。
散射反演方法之所以获得成功，是因为它所处理的这类方程都可以写成一对线性方程 ψx=Uψ与ψt=Vψ的可积条件ψxt=ψtx，亦即
孤立子 ，这里U、V是某些方阵。凡是可以作为这样的关于ψ的线性方程组的可积条件的非线性方程，称为可积型的。
物理量u(x,t)的非线性演化方程的守恒律可用散度形式的微分方程
孤立子 来描述，其中守恒密度U与对应流量F都是依赖于未知函数 u(x,t)的。从物理学上说，积分
孤立子 就是一个不因时间而变化的物理量。无穷多个守恒律与孤立子解的存在是紧密相关的。很多具有孤立子解的非线性演化方程有无穷多个守恒律，因而也有无穷个守恒的物理量。
孤立子理论的发展，对数学和物理学都具有重要意义。物理学中的一些基本方程如规范场论中的自对偶杨－米尔斯方程、引力场理论中的轴对称稳态爱因斯坦方程，以及一系列在流体力学、非线性光学、等离子物理中有重要应用的方程，都已应用孤立子理论中的方法找到了许多有兴趣的精确解。在数学中，可积性方程的判定，及其代数性质、几何性质的研究，不仅将大大丰富偏微分方程理论本身，而且将促进一系列与之相关的分支诸如李群、辛流形、代数几何、函数论等的发展。
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