高斯-马尔可夫定理

高斯-马尔可夫定理(Gauss–Markov theory)是指在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量的这一定理。

当高斯--马尔可夫定理的意义在于，当经典假定成立时，我们不需要再去寻找其它无偏估计量，没有一个会优于普通最小二乘估计量。也就是说，如果存除在一个好的线性无偏估计量，这个估计量的方差最多与普通最小二乘估计量的方差一样小，不会小于普通最小二乘估计量的方差。

• 中文名称 高斯-马尔可夫定理
• 外文名称 Gauss-Markov Assumptions
• 应用学科 数学
• 适用领域 几何学

前提假设

　　高斯-马尔可夫定理总共分为对OLS(Ordinary least square)普通线性方程有5个假设。

　　1.Ass酸分编员方财员副绝握umption MLR.1(linear in parameters): 假设一要求所有的母集团参数(population parameters)为常数，用来保证模型为线性关系。即如果母集团方程为y=a+b1x1+号之展交超鸡细妈b2x2+...+bkxk+u, 所有的a, b1,b2...bk必须为常数。同时u车州三么权晚蛋为无法检测的误差项，即实验过程中模型没有包含的因素。

　　2. Assumption MLR.2 (Random sampling)假设二: 假设我们有n个调查的样本，那么这n个样本必须是从母集来自团里面随机抽样得出的。以假设一的方程为例，{(xi1,xi2, xi3.....xik,y360百科i): i=1,2,3...n}

　　3. Assumption MLR.3 (No perfect collinearity)假设三:在样本(母集团)中， 没有独立变量(indepen烧斗继世之宁dent variable)通林弱对济是常数，并且独立变量之间不能有完全共线性。(根据矩阵方程的定义，方程会无解)

　　4. Assumption MLR.4 (Zero conditional mean)假设四: 母集团方程的误差项的均值为 0，并且均值不受到独立变量的影响，可以表示为:E(U/ X1, X2...利演南度更手还Xk)=0

　　5.Assump如假此扩肥更慢阿tion MLR.5 (Ho房也他未moscedasticity): 假设五:同方差性， 误差项u的方差不受到独立变量的影响为一个固定不变的值，可以表示为: Var(u/X1,X2...Xk)=σ

统计意义

　　在统计学中怀展排船资握，高斯-马尔可夫定理是指在误差零均值，同方差，且互不相关的线性回归模型中，回归系数的最佳线性无偏估计就持很危务作是最小方差估计。一般而言，任何回归系数的线性组合之BLUE(Best Line象死斤方载ar Unbiased Estimators)就是它的最小方差估计。在这个线性回归模型中，其误差不需要假定为正态分布或独立同分布(而仅需要满足相关和方差这两个稍弱的条件)。

　　指在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线实眼控生每略阻真青抗性无偏估计量的这一定理。

　　高斯--马尔可夫定理的意义在于，当经典假定成立时，我们阻厂垂原究不需要再去寻找其它无偏估则牛列计量，没有一个会优于普通最小二乘估计量。也就是说，如果存在一个好的线性无偏估计量，这个估计量的方差最多与普通最小二乘估计量的方差一样小，不主准殖次获先即胜会小于普通最小二乘估计量的方差。