抛物线弓形面积公式

抛连物线弓形面积公式来自等于：以割线为底，以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的3/4， 公式即s+s/4+s/16+s/64+……

• 中文名 抛物线弓形面积公式
• 性    质 面积公式
• 所属类别 数学
• 属    性 抛物线

弦长公式

　　定理直线y=kx+b(k≠0)被抛物线y2=2Px截得的弦AB的长度为

　　∣AB∣=①

　　证明由y=kx+b得x=代入y2=2Px得y来自2-+=0

　　∴ y1+y2=,y1y2=.

　　∣y1-y2∣==2,

　　∴∣AB∣=∣y1-y2|=

　　当直线y=kx+b(k≠0)过焦点时，b=-，代入①得∣AB∣=P(1+k2)，

　　于是得出下面推论:

推论

　　推论1过焦点的直线y=kx-(k ≠0)被抛物线y2=2Px截得的弦

　　AB的长度为

　　∣AB∣=P(1+360百科k2) ②

　　在①中，由容易得出下面推论:

　　推论2己知直线l: y=kx+b(k≠0前他事知兴少练属)及抛物线C:y2=2Px

　　Ⅰ)当P>2bk时，l与C交于两点(相交);

　　Ⅱ)当P=2bk时，l与C交于一点(相切);

　　Ⅲ)当P<2bk时，l与C无交点(相离).

　　下面介绍定理及推论的一些应用:

应用

　　例1求直线y=x+被抛物线y=x2截得的线段的长?

　　分析:题中所给交训出草必游八方程与定理中的方程形式不号甚听并翻与眼胜到一致，可把x看成y用①即可.

　　解曲线方程可变形为x2=2y则P=1，呼既度直线方程可变形为x=y-，

　　即k=1,b=-.由①得∣AB∣=4.

　　例2 求直线2x+y+1=0到曲线y2-2x-2y+3=0的最短距离.

　　分析:可求弦半与已知直线平行并和曲

　　线相切的直线，二直线间距离即为要求的最短距离.

　　解曲线可变形为(y-1)2=2(x-1)则P=1，由2x+y+1=0知k=-2.由推论2来自，令2bk=P，解得b=-.∴所求直线方

　　程为y-1=-2(x-1)-，即2x+y-=0. ∴.

　　故所求最短距离为.

　　例3 当直线y=kx+1与曲线y=-1有交点时，求k的范围.

　　解 曲线可变意赵手般山留七形为(y+1)2=x+1

　　(x≥-1,y≥-1360百科)，则P=1/2.直线相应地可变为 y+1=k(x+1)-k+2，∴b=2-k.由推论2，令2bk≤P，即2k(2-k)≤，解得k≤1-或k≥1+.故k保传静≤1-或k≥1+时直线与曲线有交点.

　　注:曲线作怎样变形，直线也必须作相应平移变形，否则会出现错误.

　　例4 抛物线y2=2Px内接直角三角形，一直角边所在直许空粮两律呀线为y=2x，斜边长为5.求抛物线院露或核慢求岁输的方程.

　　解设直角三角形为AOB.由题设知kOA=2,kOB=-.由①，|OA|=,

　　|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2，花即宣得P=.∴抛物线方程为y2=x.

　　例5设O为抛物线的顶点，F为焦点，PQ为过的弦，己知∣OF∣=a，∣PQ∣=b,.求SΔOPQ

　　解 以O为原点，OF为x轴建立直角坐标系(见图)，依题设条件，抛物线方程为y2=4ax(P=2a)，设PQ的斜率为k，由②|PQ|=,

　　已知|PQ|=b,k2=.∵k2=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=,

　　∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF =a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π-θ)=ab sinθ=.