复流形

在数学中，特别是在微分几何和代数几何中，复流形是具有复结构的微分流形，即它能被一族坐标邻域所覆盖，其计快言成规血今中每个坐标邻域来自能与n维复线性空间中的一个开集同胚，从而使坐标区域中的点具有复坐标 (z1,…,zn)，而对两个坐标邻域的重叠部分中的点，其对应的两套复坐标之间的坐标变换是全纯的。称n为此复流形的复维数。一个n维复流形也是2n维的(须个实)微分流形。

发展历史

　　作为来自一维的复流形的黎曼面的研究有着悠久的历史，而一般复流形的研究从20世纪40年代才开始。现今，它已成为近代数学中十分重要的概念和课题。

复流形的例子

黎曼球面

　　考虑R^3中的单位球面。它可以被球面分别去掉北极和南极所得到的两个坐标开集所覆盖。用关于北极的球极投影得到一个坐标映射，而关于南极的球极投影后再取共轭复数又得到另一个坐标映射。这样，单位球面也构成一维复流形，称为黎曼球面。

复射影空间

　　对复射影空间CP^n描述如下：设C^(n+1)是复n+1维的复线性空间，C^(n+1)\{0}是从C^(n+1)中去掉原点后所得到的空间。对于其中任意两个点z=(z_0，...，z_n)和w=(w_0，...，w_n)，如果存在非零复数λ∈C\{0} 使z=λw，则称z和w等价，按照这个等价关系所得到的商空间记做CP^n，它是一个n维的复流形。C^(n+1)中的点(z_0，...，z_n)所在的等价类，被看成是CP^n中的点，记做(z_0：...：z_n)，称为齐次坐标。直观地说，CP^n就是C^(n+360百科1)中所有过原点的复直线(即二维实平面)的集合。

　　对CP^n中的任一点p，设(z_0(p)：...：z_n(p))是它的齐次坐标，参打项州印为给那么{(z_0，..映你她尔米建油践测.，z_n)；|z_0|^2+...+|z_n|^2兵留搞它刑牛业育苗续=1}是C^(n+1)中以原点为中心的单位球面S^(2n+1)上的一点。我们知道，S^(2n+1)的子集{(λz_0，...，λz_n)；|z_0|^2+...+|z_n|^2=1，|λ|=1，λ∈C}是S^(2n+1)上的一个大圆。给定p点，即点(z_0(p)：...：z_n(p))，它所确定的S^(2n+1)上点的全体恰好组成了一个植我受银师九我染富月板大圆，因此CP^n也可看成S^(2n+1)中的大圆的全体。

　　当n=依1时，CP^1和黎曼球面S^2是双全纯等价的。

Hermitian度量和凯勒流形

　　如在复流形M 上定义了一个下列复形式 的黎曼度量，其是埃尔米特阵，则称此度量为埃尔米特度量，称具来自有埃尔米特度量的复流形为埃尔米特流形。复流形上总存在埃尔米特度量。

　　在埃尔米特流形中可引进一个二360百科次外微分形式ω，称为乎片反影害下扬弱凯勒形式，它在复坐标下总代鲁体的局部表达式为 。

　　若dω=0，即ω 是闭形式，称埃尔米境钱肉赶服特流形为凯勒流形。

　　复欧氏死权手跟画空间Cn关于通常耐需为得范言除称联度量是凯勒流形。在复射影空间CPn中有著名的富比尼-施图迪度量，描述如下：设P是CPn中任一点，它确定了S2n中的大圆。CPn在P点的任一切向量X可对应于球面S2n中与上述大圆正交的切向量塣，把塣 的长度定义为X的长度。就给出了CPn中的富比尼-施图迪度量；CPn关于这个度量构成凯勒流形。任何黎曼面关于其上任何与复结构相容的黎曼度量也是凯勒流形。如果在复流形M 上有一个黎曼度量，那么由这个度量，对M 上任一点的每个二维平面收日良给溶刚我士际灯斗可定义截面曲率(见万成夜植政黎曼几何学)。如特取某点P处的二维切平面σ为全纯截面，即n维复切空间TpM 的一维复子空间，则相应于σ的截面曲率，称为全纯截面曲率。前面例子中，复欧氏空间关于通常度量的全纯截面曲率为零，复射影空间关于富比尼-施图迪度量的全纯截面曲率为正常数。