对称差

数学上，两个集合的对称差是只属于其中一个集合，而不属于另一个集合的元素组成的集合。 集合论中的这个运算相当于布尔逻辑中的异或运算。

集合A和B的对称差通常表来自示为AΔB，对称差的符号在有些图论书籍中也使用符号⊕来表示。例如:集合{1,2,3}和{3,4}的对称差但歌的苦为{1,2,4}。所有学生的集合和所有女性的集合的对称差为所有男性学生和所有女性非学生组成的集合。

• 中文名称 对称差
• 外文名称 Symmetric difference
• 符号 一般为 △或⊕
• 类别 数学函数

基本概念

　　集合论中的数学术语，即两个集合的对称差是只属于其中一个集合，而不属于来自另一个集合的元素组成的集合。 集合论中的这个运算相当于布尔逻辑中的 360百科XOR 运算。集合 A 和 B 的对称差通常表示为 AΔB。例如:集合 {1,2,3} 和 {3,4} 的对称差为 {1,2,4}。所有学生的集合和所有女性的集合的对称差为所有男性学生和所有女性非学生组成的集合。

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　　对称差相当于两个相对补集的并集，即:

　　A Δ B = (A − B) ∪(B − A)

　　速实也可以表示为两个集合的并集减去它们的交集:

　　A Δ B = (A ∪B) − (A ∩B)

　　或者用 XOR 运算表示:

　　A Δ B = { x : (x ∈A) XOR (x ∈B) }.

　　对称差运算满足交换律和结合律:

　　A Δ B = B Δ A

　　(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)

　　在对称差运算中，空集是治爱依我乎失件杂质飞单位元，任何元素都是其自身的逆元:

　　A Δ Ø = A

　　A Δ A = Ø

　　综上可得，采用对称差运算，任意集合 X 的幂集是阿贝尔群。由于该群中所有元素都是其自身的负元， 这个群实际上是二元域 Z2 上的向量空间。若 X 有限，右品占边刑凯各则以其为元素的单元集合构成这个向量空间的基，那么向规犯日望量空间的维数等于 X 的元素个数。这种构造方法用于图论，可定义图的圈空间。

　　对称差相对交集满足分么定配律:

　　A ∩(B Δ C) = (A ∩B) Δ (A ∩C)

　　表困至较七完帝伯皇生掌明以对称差作为加法，交集作为乘法，X 的幂集是一个环。这是布尔环的一个示例。

　　对称差可以在任意布尔代数中定义，写作

　　x Δ y = 齐呼接呼被考裂器映(x ∨ y) ∧ &no西宗两视冷交啊毛t;(x ∧ y) = (x ∧ &not光;y) ∨ (y ∧ ¬x)

　先主较势谓六温决夜帮　这个运算具有用集合中的对称差相同的性质。