数学归纳法

数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明来自任意一个给定的情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。

• 中文名 数学归纳法
• 类别 数学方法
• 功能 主要用来研究与正整数有关的数学问题

历史发展

　　已知最早的使用数学归纳法的证明出现于Frances适销工序蒸督coMaurolico的Arithmeticorumlibriduo（1575年）。Maurolico利用递用价攻宣风推关系巧妙的证明出证明了前n个奇数的总和是n^2，由此揭开了数学归纳法之谜。

数学归纳法

结构

　　最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成：

　　递推的基础：证明当n=1时表达式成立。

　　递推的依据：证明如果当n=m时成立，那么当n=m+1时同样成立。

原理

　　在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这溶培序较拿些态厚源艺两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。 或许想成多米诺效应更容易理解一些，如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如甲只道参犯动果你可以确定：

　　第一张骨牌将要倒下，只要来自某一个骨牌倒了，与之相邻的下一个骨牌360百科也要倒，那么你就可以推运断所有的的骨牌都将要倒。

　　这样就确定出一种递推关系，只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下：

　　（1）第一块骨牌倒下；

　　（2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下。

　　这样，无论有多少骨牌，只要保证（1）（2）成立，就会全都倒下。

推导方式

第一数学归纳法

　　一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤：

　　（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

　　（2排读怎阿）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明石日据发热友单里稳当n=k+1时命题也成立。

　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。

第二数学归纳法

　　对于某个与自然数有关的命题P(n)，

　　（1）验证n=n0时P(n)成立；

　　（2）假设n0≤n≤k时P则季宜(n)成立，并在此基础上，推出P(k+1)成丰太告冷视陆立。

　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。

倒推归纳法

　　（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n)成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；

　　（2）假设P(k+冲南概福华握服染克右画1)（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k)成立，

　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立；

螺旋式归纳法

　　对两个与自然数有关的命题P(n)，Q(n)，

　　（1）验证n=n0时P(n)成立；

　　（2）假设P(k)（k>n0）成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k+1)成立；

　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n)，Q(n)都成立。

性质

　　数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚席验镇稳诺公理）。但是在另一些公理的基础上，它可以用一些逻辑方法证明。比如，由下面的公理可以推出数学归纳法原理：

　　自然数集是良序的。

　　注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更确切地说，两者是等价的。

运用

　　（1）确定一个表达雨衡情式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。

　　（2）数理逻辑和计算机科学广义的形式的略观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。

　　（3）证明数列前n项和与通项公式的沿讨风圆动成立。

　　（4）证明领这治切货去直和自然数有关的不等式。​