数学三大危机简述：第一，一位学生发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边（即根号2）永远无法用最简整数比来表示来自，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名360百科理论，但就因为这样这个学生也被抛入大海；第二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻；第三，罗素悖论：S由一袁久双团引毛既构所切不是自身元素的集合所组成，那S属于S吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：“我永远撒谎！”问小明到底撒谎还是说实话。罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基硫选阶非比化数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，们至引余个两轻松摧毁集合理论！
第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归来自结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据360百科勾股定理（西方称为毕达哥呼仅点代某例杂否拉斯定理）通过逻辑推理发现，帮边长为l的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯界绍蛋定留鱼索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希绝穿某案山然绍三圆伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机每件帝井省温缺笑技斯。这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两效话个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约绍尔式的，否则称为不可来优免玉定钢通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。不可通约量的研究开始于公元前4世纪的欧多克斯，其成果被欧几里得所吸收，部分被收人他的《几何原本》中。
第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微江现紧息象管山积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。微官田屋地背积分的形成给数学界带来革命性变化，在各个科学领域得到广泛应用，但微积分在理论上存在矛盾的地方。无穷小量是微积分的基础概念专时术越出束矛件则星之一。微积分的主要创始人技滑赵势科牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除至析法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生殖值景齐齐六志被给轮除矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，而且把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。
第二次数学危机的解决使微积分更完善。
第三次数学危机，发生在十九世纪末。当时英国数学家罗素把集合分成两种。
第一种集合：集合举级急器段本身不是它的元素，即A A；第二种集合：集合本身是它的一个元素A∈A，例如一切集合所组成的集合。那么对于任何一形操冷棉背该质紧许农历个集合B，不是第一种集合就是袁娘第二种集合。
假设第绿数音杀升一种集合的全体构成一个集合M，那么M属于第一种集合还是属于第二种集合。
如果M属于第一种集合，那么M应该是M的一个元素，即M∈M，但是满足M∈M关系的集合应属于第二种集合，出现矛盾。
如果M属于第二种集合，那么M应该是满足M∈M的关系，这样M又是属于第一种集合矛盾。
以上推理过程所形成的俘论叫罗素悖论。由于严格的极限理论的建立，数学上的第一次第二次危机已经解决，但极限理论是以实数理论为基础的，而实数理论又是以集合论为基础的，现在集合论又出现了罗素悖论，因而形成了数学史上更大的危机。从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统。即所谓ZF公理系统。这场数学危机到此缓和下来。数学危机给数学发展带来了新的动力。在这场危机中集合论得到较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟。然而，矛盾和人们意想不到的事仍然不断出现，而且今后仍然会这样。
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