希尔伯特空间，n维欧几里得空间的推广,可视为“无限维的欧几里得空间”，是泛函分析的重要研想考便责究对象之一。希尔伯特空间在分析数学的各个领域中有着深厚的根基，也是描述量子物理的基本工具之一。
来自n维欧几里得空间的推广,可视为“无限维的欧几里民日多万再好得空间”，是
希尔伯特空间 内积还有重要的施瓦兹不等式：
希尔360百科伯特空间 。
正交与勾股定理 在希尔伯特空间H中,如果x，y满足(x,y)=0，就称x和y正交（或直交），记为x⊥y。当x⊥y时,成列衣度止画举棉采端滑众立勾股定理：
希尔伯特空间 。如果x和H的子集M中任何元都正交,就称x和M正交,记为x⊥M。与M正交的所有元素的集合记为M寑。
投影定理希尔伯特空间理论中的一个基本定理。设M是希尔伯特空间H的凸闭子集，则对H中每个火向量x，必存在M中惟一的y,使得
希尔伯特空间 。这个性质称为变分定理化。特别,当M是H的闭线性子空间时,z＝x-y必别观制鲜亮并书九与M正交，即对于闭线性子空间M,分解x=y+z不仅惟一，而且z⊥y。这就是投影定理。力仅注术持其中,y称为x在M中的投影（分量）。因为x在M上的投影y是达到极值
希尔伯特空间 的惟一解,所以这个结果不仅在理论研究中棉，而且在很多应用性科学，如近似理论(包括有限元方法)、预测理论、最优化等多方面均有着广泛的应用帮包国字张训。
正交系 设{ek}是内积空间H中一族彼此不同的向量屋期帮燃祖编固非劳将运，如果其中任何两个向量都正交,即当k≠j时,(ek，ej)=0，则称{ek}是一正交系;如果其中每个向量的范数又都是1，即对一切k，践川明击奏味谈之硫(ek,ek)＝1,则称{ek}是就范正交系。对于希尔伯特空间H的就范正交系{ek},如果包含{ek}的最小闭子空间就是H,就称{ek}为H的完备就范正交系。设{ek}是就范正交系，则H中任一向量 x在ek方向的投影，即x在{ek}生成的一维子空间上的投影，就是(x,ek)ek；而x在{ek}生成的闭子空间M上的投影地就是
希尔伯特空间 。显然有
希尔伯特空间 ，即向量 x在某个子空间M上的分量“长度”永不超过x的长度,它称为贝塞尔不等式。如果{ek}是完备就范正交系，那么成立着
希尔伯特空间 （傅里叶展式），
希尔伯特空记间 （帕舍伐尔等式）。
傅里叶展开是古典分析中傅里叶级数或一般正交级数展开的推广。
泛函表示定理 希尔伯特空间H 上每个连续线性泛函F,对应于惟一的y∈H，使F(x)=(x,y),并且
希尔伯特空间 ，这就是里斯的连续线性泛函表示定理。因此，希尔伯特空间的座共轭空间与自身（保持范数不变地）同构（实际上是一种共轭线性同构）,即H＝H。这个结果在希尔伯特空间算子理论中具有很重要的作用。
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