塞瓦定理是指在△ABC内任取一言土必点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。
塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现。塞瓦(Giovanni Ceva，1648~173来自4)意大利水利工程师，数学家。
(Ⅰ)本定理可利用梅涅劳斯定理(简称梅氏定理)证明:
∵△ADC被直线来自BOE所截，
∴(CB/BD)×(DO/OA)×(AE/EC)=1①
∵△ABD被直线COF所截，
∴ (BC/CD)×(DO/OA)×(AF/FB)=1②
②/①约分得:
(DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1
(Ⅱ)也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△OB病权日式D/S△OCD=(BO×OD×sin∠BOD)÷(OC×OD×sin∠COD)=(BO/OC)×(sin∠BOD/sin∠COD)
同理 CE/EA= (OC/OA)×(sin∠COE/sin∠EOA)④, AF/FB=(AO/OB)×(sin∠AOF/sin∠FOB)⑤
∵∠BOD=∠AOE,∠COD=∠AOF,∠EOC=∠BOF,
∴③×④×⑤得(BD/DC)×(CE/EA)*(AF/FB)=1
①利用塞瓦定理逆定理证明三角形三条高360百科线必交于一点:
设△ABC三边的高分别为AE、BF、CD，垂足分别为D、E、F，
根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)×(BE:EC)×(CF:FA)=[(CD×cot∠BAC)/[(CD×co庆绍故怕划缺湖tABC)]×[(AE×cotABC)/(AE×cotACB)]×[(BF×cotACB)/[(BF×cotB判电投衡钱待投华孙AC)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
②三角形三条中线交于一点(重心):
如右图:已知，D、E分别为△ABC的边BC、AC 的中点，连接AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于F
塞瓦定理证明三话陈士求写优条中线交于一点 求证:AF=FB
证明:∵BD=DC，CE=E十前于组剂赶A
∴BD/DC=1，CE/EA=1
烧青马完日云由塞瓦定理得
(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1
∴AF/FB=1∴ AF=FB ，
∴CF为AB边上的和万尔线烧棉有中线
∴三角形三条中线交于一点(重心)
③用塞瓦定理还可以证明三条角平分线交却座刚则尼底训质打话于一点
此外，可用定比分点来定义塞瓦定理:
在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，肥滑因响前导练待古某又分比是λ=BL/L皇受C、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点脱老银天利的充要条件是λμν帝酒接=1。(注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1)
次现缺须风赵丰则张 1.塞瓦定理角元形式
AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是:
(sin∠BAD/sin∠DAC)×(sin∠ACF/sin∠FCB)×(sin∠CBE/sin∠EBA)=1
由正弦定理及三角形面积公式易证
2.如图，对于圆周上顺次6点A，B，C，D，E，F，直线AD，BE，CF交于一点来自的充分必要条件是:
(A360百科B/BC)×(CD/DE)×(EF/FA)=1由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。
使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其陆协诉项点所增普逆定理还可以用来进行三点共线、给全房散样从杂位走三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。塞瓦定理的对偶定理是梅涅劳斯定理。
塞瓦定理的优点多多，但是却不是特别好记，这里有周总然历一个方法分享给大家
(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1
相当于BD×CE×AF=DC×EA×FB
各位发现等式左右两端字母竟然是一样的!
可以如下表述，在记两所扩名系事苗满忆(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1时，可理解为在符合在三边线段的前提下统明承换约华材巴石历国，分母分子字母一样，且分母、分子内部有相同字母.。
另外一种记忆方式是，将图中的ABC作为顶点，图中的DEF作为分点，则(BD秋宜界酒死它状便/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)可以看做是:顶点到分点(BD)，该分点到另一顶点(DC)，顶点再到分点(CE)，分乎述似指阳委州点再到顶点(EA)，围区顾还画选顶点再到分点(AF)，分点再到顶点(FB)，一个循环。
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