拉姆齐定理

在组合数学上， 拉姆齐(Ram么王异先宗sey)定理是要解决以下的问题:要找这样一个最小的数n ，使得n给点理院必不系个人中必定有来自k个人相识或l个人互不相识。

这个定理以弗兰克·普伦普顿·360百科拉姆齐命名， 1930年他在论文On a Problem in Formal Logic (《形式逻辑上的一个号祖陈问题》)证明了课振苦否威拿眼R(3,3)=6。

• 中文名 拉姆齐定理
• 外文名 Ramsey
• 提出者 弗兰克·普伦普顿·拉姆齐
• 提出时间 1930
• 应用学科 数学

定理定义

　　在组合数学上，拉姆齐(Ramsey)定理持见是要解决以下的问题:要找这样一个最小的数n，使得n个人中必定有k个人相识或l个人互不相识。​

　　拉姆齐定理的通来自俗表述:

　　6 个人中至少存在3人相互认识或者相互不认识。

　　该定理等价于证讲诉密级明这6个顶点的完全图的边，用红、蓝二色任意着色，必然至少存在一个红色边三角形，或蓝色边三角形。

　　注:这个定理以弗兰克·客问首死鲜准候作八普伦普顿·拉姆齐命名，1930年他在论文On a Problem in Formal Logic(《形式逻辑上的一个问题》)证明了R(3,3)=6。

验证推导

　　R(3,3)=6

　　证明如下:首先，把这6个人设为A、B、C、D、E、F六个点。由A点可以引出AB、AC、AD、AE、AF五条线段。设:如360百科果两个人认识，则设这两个人组成的线段为红色;如果两个人不认识，则设这两个人组成的线段为蓝色。

　　由抽屉原理可知:这五条线段中至少有三条是同色的。甚问旧景步不妨设AB、AC、AD为红色哪础沿弱写州蒸知以销。若BC或CD为红色，则结爱言门题条大论显然成立。若BC和CD均为蓝色，则若BD为红色统入社温，则一定有三个人绿屋将百相互认识;若BD为蓝色，则重继黄副一定有三个人互相不认识。

拉姆齐数的定义

　　拉姆齐数，用图论的语言有两种描述:

　　对于所有的N顶图，包含k个顶的团或l个顶的独来自立集。具有这样性质的最小自然数N就称为一个拉姆齐数，记作R(k,l);

　　在着色理论中是这样描述的:对于完全图Kn的任意一个2边着色(e1,e2)，使得Kn[e2]中含有一个k边形，Kn[e1]含有一个l边形，则称满足这个条件的最小的n为一360百科个拉姆齐数。(注意:Ki按照图论的记法表示i阶完全图)

　　拉姆齐证明，对与给定的正整数数k及l，R(k,l)的答案是唯一和有限的。

　　拉姆齐数亦可推广到多于两个数:

　　对于完全图错千品创据独设取聚且味Kn的每条边都任意涂上r种颜色之一，分别记为 e1,e2,e3,...,er ，在Kn中，必定有个颜色为e1的l1边形，或有个颜色为e2的l2边形……或有个颜色为er的lr边形。符合条件又最少的数n则记为R(l1,l子屋祖余考程2,l3,...,lr;r)。

　　拉姆齐数的数值或上下界

　　已知的拉姆齐数非常少，保罗·艾狄胥曾以一个故沙脚气事来描述寻找拉姆齐数的难度:"想像有队外星人军队探预供纪天在地球降落，要求取得R(5,5)的值，否则便会毁灭地球。在这个情况，我们应该集中所有电脑和数学家尝试去找这个数值。若它们要求的是R(6,6)的值，我们要尝试毁灭这班外星人了。"

　　显然易见的公式:

　　充危游送牛所1°R(1,s)=1

　　2°R(2,s)=s R(l1,l2,l3,...,lr;r)=R(l2,l1,l3,..层质外言乡治倍明不输胜.,lr;r)=R(l3,l1,l2,...,lr;r) (将li的顺序改变并不改变拉姆苗顺音件矿批犯齐的数值)

R(3,3)等于6的证明

　　证明:在一个K6的完全图内，每边涂上红或蓝色，必然有一个红色的三角形或蓝色的三角形。

• 任意选取一个端点P ，它有5条边和其他端点相连。
• 根据鸽巢原理，5条边的颜色至少有3条相同，不失一般性设这种颜色是红 色。
• 在这3条边除了P以外的3个端点，它们互相连结的边有3条。
• 若这3条边中任何一条是红色，这条边的两个端点和P相连的2边便组成一个红色三角形。
• 若这3条边中任何一条都不是红色，它们必然是蓝色，因此，它们组成了一个蓝色三角形。
• 而在K5内，块挥本换赶误派则不一定有一个红色的三角形或蓝色的三角形。 每个端点和毗邻的两个效片异模唱走端点的线是红色，和其余两个端点的连线是蓝色即可。这个定理的通俗版本就是友谊定理 。