梯度算子

设某一给定正交坐标系的三个单位矢量为 ui ,而线元的平方可以表示为:ds 2 = gi dui2 ,那么体积元(套固仅她块致车其中 g = g1 g 2 g 3 )氢无满神解代掌书、dV = gd光皇到玉剧革陈科见u1du2 du3。

• 中文名称 梯度算子
• 外文名称 Gradient operator
• 公式 ds 2 = gi dui2
• 取决于 空间位置的一个量.
• 含义 标量场

场

　　这个在物理学中非常基本的概念.我们所说的场是来自指取决于 空间位置的一个量.

标量场

　　最可能简单的一种物理场是标量场,所谓标量场,是指每点 仅有一360百科个单独数量--一个标量--所标志的那种场. 当然这个数量还可需促华随时间 而变,不过眼下我们还火针无需为此操心.我们将只四象席谈论在某一特定时刻,场看来是 个什么样子.作为标量场的一个例子,你可以考虑一块固体材料,其中某些地方 受热而另一些地方受冷,使得该物体的温度以一种复杂方式逐点改变.于是温度 将是从某个迪卡证尔坐标系上量得的代表空间每一位置的函数. 可见温度是一标量 场.另一个常见的例子则是势场.

矢量场

　　还有一种场叫做矢量场, 意义也十分简单. 就是在空间每一点给出一个矢量, 这个矢量逐点变化.作为一个例子,可考虑蛋以打孙高一个旋转物体.在每点上物体中原子 的速度便是位置函数的矢量.作为第二个例子,考虑在一块材料中的热流.如果 某处的温度高于另一处的,热量就会从较热处流至较冷处.在材料中的不同位置 热量将朝不同的方向流动,这一热流就是一个矢量场. 当然,类似的,南越愿适夫怀声半还六你也可以给张量场下个定义.

日元位波抗感沉坏增文　　劈形算子，倒三角算子(nabla)

　　是一个符号，略伟形为∇。该名字来自希腊语的某种竖琴:纳布拉琴。相关的词汇也存在于亚拉姆语和希伯来语中。

　　另一个对于该符号常见的名称是atled，因为它是希腊字母Δ倒过来的形状。除了atled外，它还有一个名称是del。

　　劈形北成伯引算子在标准HTML中写为&nabla，而在LaTeX中为\nabla。在Unicode中，它是十进制数8711，也即十六进制数0x2207。

　　劈形算子在数学中改正液女将用于指代梯度算符，种今化迫背两植班病并形成散度、旋度和拉普拉斯算子。它也用于指代微分几何中的联络(可以视为更广意义好主上的梯度算子)。它由哈密沿尔顿引入。

微商

　　当场随时间变化时,可通过给出场对时间的微商来加以描述.我们希望也按 同样办法来描述场对空间的变化, 因为对于例如或者相邻两点之间的温度或者势 能关系我们是感兴趣的.

　　值得注意的是,对任一标量场,例如 φ ,其可能的微商 有三个: φx1 ,φ x2 和 φ x3 .由于有这三种微商,而我们又知道要形成一个矢量需要三个数量,也许这三个微商就是一个矢量的分量 ! 当然,一般并非任何三个数量都能构成为一个矢量的.只有当我们旋转坐标 系,各个分量按照正确的方式变换时,这才成立.所以需要分析坐标系旋转时, 这些微商是粉落故你果纪如何变换的.为此,我医们采用一个新坐标系 xi′ 系中,微商变为 φ ′ 式法则,有= λij x j ,在这个坐标xi′ = φ xi′ ,这是因为 φ ′ xi′ 是一个标量.利用链φ x j 迅集种高建皇指球态φ = xi′ xi′ x j

　　(1)为了得到 x jxi′ 这个系数,我们写出坐标变换的药长女清设要反变换 ′ x j = λkj xk

　　(2)并将其两边对 xi′ 求导数,得x j x′ = λ评非答又迅子雨婷附kj k = λkjδ ik = λij xi′ xi′将它代入式(1),我们就得到了

　　(3)φ φ = λij xi′ x j这个式子说明( φx1 , φ x2 , φ x3 ) 是一个矢量.

　　上面的论证与我们究竟是在对哪一个标量场进行微分是没有关系的.既然不 管我们对之进行微分的是什么,那些变换公式都相同,那就可以略去 φ 而由一个 算符方程式来代替式(3):= λij xi′ x j在很多参考书上也将

　　(5)xi 用 i 来表示,即 i ≡ xi .这样的记号写起来更加简单,而且在复杂的场合也不容易出错.我们可以利用它将上面的 变换关系可以写得好看一些′ = λij j i

　　(6)由于这些微分算符本身就已如同一个矢量的分量那样进行变换,我们便可以 称之为一个矢量算符的分量,通常用符号 来表示这个矢量算符,即可以写成≡ ( 1 , 2 , 3 )或者

　　(7)= xi i那当然就意味着其分量

　　(8)i = i

　　(9)顺便提一句,在有关张量的现代处理中,我们正是把 i 这样的微分算符看作矢 量基的.第 2 页,共 7 页

　　当 作用在标量函数或者矢量场上, 就是我们所熟悉的梯度, 散度以及旋度:grad φ = φ = ( iφ ) xi = div A = A = i Aif r

　　(10)curl A = × A = ( ε ijk j Ak ) xi值得注意的是,上面的式子中顺序是很重要的,例如 A 是矢量场 A 的散度, 它是一个标量;而 A 并非一个数值,它仍然是某种算符.另外,这里我还写 出了标量场梯度的另一种表示方法,即 φ

　　= f r ,在分析力学部分我们会比较多的采用这个记法, 其好处在下面这样一个简单的例子中可见一斑. 设 粒子位矢 r 的函数,而 r 本身又是某个变量 q 的函数,我们要求 微商,根据链式法则,有f是f对q 的df f dx i = dq xi dq

　　而采用这里的写法,我们就可以将上式写为

　　(11)df f dr = dq r dq这在涉及质点组问题时会带来较大的方便.

不同坐标系中的梯度算子

　　设某一给定正交坐标系的三个单位矢量为 ui ,而线元的平方可以表示为

　　ds 2 = gi dui2 ,那么体积元(其中 g = g1 g 2 g 3 )

　　dV = gdu1du2 du3

　　梯度算子的作用则分别为

(A1)

　　f =1 f ui , gi ui gi g k Ak ui , g u j

　　A =1 g Ai g ui gi× A = ε ijk1 g f 2 f = g ui gi ui

(A2)

　　例如,对于柱坐标系有ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + dz 2即

(A3)

　　g rr = g zz = 1,因此,体积元为gθθ = r 2 ,g =r

(A4)

　　dV = gdrdθ dz = rdrdθ dz而

(A5)

　　f 1 f f θ+ z r+ r r θ z 1 f 1 2 f 2 f 2 f = + r + r r r r 2 θ 2 z 2 1 1 A A A = ( rAr ) + θ + z z r r r θ 1 Az Aθ Ar Az × A = r + z z r r θ f =Ar 1 θ + ( rAθ ) θ r r z

(A6)

　　而对于球坐标系,则有ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ d 2即

(A7)

　　g rr = 1,因此,体积元为gθθ = r 2 ,g = r 2 sin 2 θ ,g = r 2 sin θ

(A8)

　　dV = gdrdθ d = r 2 sin θ drdθ d而

(A9)

　　f =2f 1 f 1 f θ+ r+ r r θ r sin θ f 2 f 1 2 f 1 1 f = 2 r + sin θ + θ r 2 sin 2 θ 2 r r r r 2 sin θ θ 1 1 1 A A = 2 ( r 2 Ar ) + ( sin θ Aθ ) + r r r sin θ θ r sin θ × A = + 1 r sin θ 1 r sin θ Aθ θ ( sin θ A ) r

　　Ar 1 A sin θ ( rA ) θ + ( rAθ ) r r r r θ