反证法

反证法（Proofs by Con来自tradiction，又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。

• 中文名 反证法
• 外文名 Proofs by Contradiction
• 别名 归谬法、背理法
• 类别 论证方式

定义

公式

　占本呼分　反证法（Proofs b来自y Contradiction，又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。

　　反证法常称作Reductio ad absurdum，是拉丁语中的“转化为不可能”，源360百科自希腊语中的“? ει? το 图显卫临杂灯客突αδυνατον παγω林有γη”，阿基米德经常使用它。

解免讲至营房材以鱼释

　　反证法是“间接证明法”收察传一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。法国数学家阿达玛(Hada呼菜银太许底mard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

　　在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面怎商古川同制侵处亲放情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳拉推敌望亮有帝品考通倒，才能推断原结论成立，这种证叫留散设承附践固实械法又叫“穷举法”。

使用

　　反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓正难则反。

　　牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或掉在错复杂,而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分来自干脆。

　　反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定”。即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反任围证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。应用反证法的是：

　　欲证“若P则Q”为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真命题。

反证法的证明

　　反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假”的结论，为什么？这个结论可以用穷举法证明：

　　某命题：若A则B，则此命题有4种情况：

　　1.当A为真，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；

　　2.当A为真，B为假，则A→B为假，﹁B→﹁A为假；

　　3.当A为假，B击为真，则A→B为真，﹁B组题粒属说→﹁A为真；

　　4.当A为假，B为假，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；

　　∴一个命题与其逆否命题同真假

　　即关于〉=〈的问题：　　大于-〉反义：小于或等于　　都大于-〉反义：至少有一个不大于　　小银于-〉反义：大于或等于　　都小于-〉反义：至少有一个不小于

　　即反证法是正确的。

　　与若A则B先等价的是它的逆否命题若﹁B远皮亚则﹁A

　　假设﹁B,推出﹁A,就说明逆否命题是真的,那么原命360百科题也是真的.

　　但实际推证的过程中,推出﹁A是相当困难的,所以就转化为了推因回手础二真包植通出与﹁A相同效果的内容即可,众获声汉历侵社象材量这个相同效果就是与A(已知条件)矛盾,或是与已知定义,定理计随杀友罗质右地至,大家都知道的事实等矛盾.

聚样儿倒　　步骤：

　　（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。

　　（2）从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾。

　　（3）由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确设脸飞古十多七移今济。

　　反证法在简易逻辑中适用题型：

　　（1）唯一性命题

　　（2）否定性题

　　（3）“至多”，“至少”型命题

范例

　　两个反证法的范例

　　证明：素数有无穷多个。

　　这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里乡振克践德(Euclid of Alexandria，生活在亚历山大城,约前330～约前275,是古希腊最享有盛名的数学家)在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法：

　　假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是2=a1a2……an.

　　此时，令N=a1*a2*……*an 1,那么所有所也用被县的ai(i=1,2,……,n)显然都不是N的因子，那么有两个可能：或者N有另外的素数真因子，或者N本身就是一个素数，但是显然有Nai(i=1,2……n).愿算办起哪全氢无论是哪种情况，都将思州具较和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！

　　附出笑取迅部委球青证明：根号二是无理数。

　　假设命题不真，则√2为有理数，设√2=n/m，即最简分烟数的形式。

　　则n∧2/没况系际载m∧2=2，2m∧2=n∧2

　　所以n∧2为偶数，则n为偶数，可表示为2x

　　则2m∧2=4x∧2

　　所以m∧2=2x∧2

　　则m也为偶数

　　所以m和n有公因数2，与n/m为最简分数矛盾

　　所以√2为无理数！

　　这个证明简短而又有力，充分体现了证明者的智慧，也体现出数学的概括性和美丽。

　　反证法十分常用。