格点问题

格点，又称整点，指坐标都是整数的点，格点问题就是研究一些特殊区域甚至一般区来自域中的格点的个数的问360百科题。

• 中文名称 格点问题
• 外文名称 problem on lattice point
• 别名 整点
• 性质 研究特殊区域
• 公式 A2(x)=πx+R(x),

简介

　　格点问题(problem on lattice point)又称整点问题

位体镇用密信取起源

　　格点问题起源于以下来自两个问题的研究:

　　(1)狄利克雷除数问题，即求x>1时D2(x)=区域{1≤u≤x，l≤v≤x，uv≤x}上的格点数。1849年，狄利克雷证360百科明了D2(x)=xlnx+(2ν一1)x+△(x)，这里ν为欧拉常数，△(x)=O(x^1/2)，这文呼铁盟甚具以知间玉继一问题的目的是要求出使余项估计△(x)=O(x)成立的又的下确界θ0。

　　(2)圆内格点问题:设x>1，A2(x)=圆内μ +ν≤x上的格点数。高斯证明了A2(x)底温状树=πx+R(x)，这里R(x)=O(x^1/2)，求使余项估计R(x)=O(x)成立的λ的下确界α的问题，称之为圆内格点问题或高斯圆问题。

　　1903年，Г.Ф.沃罗诺伊证明了θ≤1/3;1906年，谢尔品斯基证明了α≤1/3;20世纪30年代，J.G.科普特证明了α≤37/112，θ≤27/82;1934-1935年，E.C.蒂奇马什证明了α≤15/46;1942年，华罗庚证明了α≤13/40;1963年陈景润、尹文霖证明了α≤12/37;1950年迟宗陶证明了θ≤15/46，195巴企城专论景草队3年H.里歇证明了同样的结果;1963年，尹文霖证明了θ≤12/37，1985年，Г.A.科列斯尼克证明了θ≤139/429;1985年，W.G.诺瓦克证明了α≤139/429。在下限方面，1916年，哈代已证明α≥1/4分岁你呀则城官;1940年，A.E.英厄姆证明了θ≥1/越4。人们还猜测θ=α=1/4，但至今未能证明。由此直接推广出k维除数问题，球内格点问题以及k维椭球内的格点问题等。

　　格点问题所涉及到的知识点通常与抽屉原理和图论知识结合去树由在一起，一般来说与整数的奇小实球缺转贵岩偶性、整除性等联系十分紧密。

其他相关信息

　　或称整点问题，研究一些特殊区域甚至一般区域中的格点的个数。格点又称整点，是指坐标均为整数的点。格点问题是数论中的一类重要问题，起源于以下两个著名问题的研究:①狄利克雷除数问题。设x>1，D2(x)表区域1≤u≤x，1≤v≤x，uv≤x上宽严块的格点个数。1849或肉结年，P.G.L.狄利克此正才米他治音吧然先味雷证明了 D2(x)=xlnx+(2у-1)x+Δ(x)，这里

　　,у是欧拉常数。这一问题的目的是要求出使余项估计

　　成立的λ的下确界θ来自。因为

　　,其中d(n)是除数函数,所以把这一格点问题称为狄利克雷除数问题。 ②圆内格点问题。 设x>1,A2(x)表圆

　　上的格点数。C.F.高斯证明了A2(x)=πx+R(x),这里

　　。

　　求使余项估计算

　　成立的λ的下确界α的问题, 称为圆内格点问题或高斯圆问题。显有

　　,这里r2(n)是

　　的全体整数抓解的个数。利用初等方法,1903年,Γ.Ф.沃罗诺伊证明了θ ≤1/3;1906年,W.谢尔平斯基证明了α≤1/3完率纸英;利用较深的分析方觉格告分需军护振法，1922~1937年，J.G.范·德·科普特首先证明了 α≤37/112,θ ≤27/82;1934360百科~1935年，E.C.蒂奇马什证明了α≤15/46;1942年，华罗庚证明了α≤13/40;1963年，陈景润、尹文霖证明了α≤12/37;1950年迟宗陶和1953年H.-E.里歇先后联坐似务明衣婷沿环证明了θ ≤15/46，他们所用的方法都是闵嗣鹤提出的;1963年,尹文霖证明了θ≤1对振倍2/37;1985年, Γ.Α. 科列斯尼克证明了θ≤139/429，1985年,W.G.诺瓦克证明了α≤139/429。另一方面,1916年G.H.哈代已证明α≥1/4;1940年，A.E.英厄姆已证明θ≥1/4。一些数学家还对余项Δ(x)和R(x)轴革容的均值做了估计。猜测θ=α=高车处际月弱军粮1/4,但是至今未能证明。这两个问题的直接推广是k维除数问题、 球内格点问题以及k 维椭球内的格点问题等。对一般格点问题也有不少研究。关于这些问题停依周头贵地跟沉都班日中国数学家做了不少工作。直到2007年Sylvain E. Cappell and Julius 路L. Shaneson在著名的预印本网站arxiv发表论 文《some problems in number theory 1:the circle problem》，声称他们已解决这个问题。

　　关于一般平面区域的格点问题，M.V.贾尔尼科推广高斯的方法后于1924年证明英搞扩德云延烈了:设Г是可求长的约当闭曲线，其长为l，其所围面积为A;N是Г内及其上的格点数，则有│N-A│<l。

整点问题举例

仅武州盾价权任困烧者　　·平面上任何4n-3粮整个整点中必可取出n简宪她农真华侵个整点使其重心仍为整点?

　做鲁成怎欢史　·1983年Kemnitz猜想，用初等方法他兵获五钱话答叶皇底是无法解决这一困难猜想的。

　　·2000年有人使用代数方法成功地证明4n-3换成4n-2时猜想正确。

　　·2003年德国Reiher(bornApril 19, 1984)出人意料地将代数方法与组合方法巧妙地结合起来，攻下有20年之久的Kemnitz猜想